Ejercicio resuelto de Funciones y continuidad · Matemáticas I

Comprueba si la siguiente función es continua en $x=0$:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2-1& \text{si }x<0\\ {\displaystyle \frac{x-2}{2}}& \text{si }x\ge 0\end{array}$

Estudiamos la continuidad de la función a trozos en $x=0$. Una función es continua en un punto cuando existe el valor de la función, existen y coinciden los límites laterales, y todos ellos son iguales.

$\mathbf{\text{1)}}\mathbf{\text{Valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n:}}$

Como $x=0$ cumple $x\ge 0$, usamos el segundo trozo:

$f(0)={\displaystyle \frac{0-2}{2}}={\displaystyle \frac{-2}{2}}=-1$

$\mathbf{\text{2)}}\mathbf{\text{L}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mites}}\mathbf{\text{laterales:}}$

Por la izquierda ($x<0$) usamos $2x^2-1$:

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(2x^2-1)=2\cdot 0^2-1=-1$

Por la derecha ($x\ge 0$) usamos ${\displaystyle \frac{x-2}{2}}$:

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{x-2}{2}}={\displaystyle \frac{0-2}{2}}=-1$

$\mathbf{\text{3)}}\mathbf{\text{Comparaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n:}}$

Como ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0)=-1$, se cumplen las tres condiciones, por lo que la función $\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}$ en $x=0$.

En la gráfica se ve cómo la parábola $2x^2-1$ (tramo $x<0$) y la recta ${\displaystyle \frac{x-2}{2}}$ (tramo $x\ge 0$) se empalman sin salto en el punto $$\begin{gathered} (0, \\ ,-1) \end{gathered}$$: