Ejercicio resuelto de Funciones y continuidad · Matemáticas I

La siguiente gráfica corresponde a la función $f(x)$.



Di si se continúa o no en $x=1$ y en $x=2$. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.

Para decidir la continuidad en un punto $x=a$ comprobamos las tres condiciones: que exista $f(a)$, que existan e coincidan los límites laterales, y que ese límite común sea igual a $f(a)$.



$\mathbf{\text{En}}x=1$

Observando la gráfica, al acercarnos por la izquierda la función tiende al valor $3$ (punto abierto), mientras que el valor de la función y el límite por la derecha valen $1$ (punto cerrado):

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=3$

${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=1$

Los dos límites laterales existen y son finitos, pero son distintos:

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)\mathrm{\ne }{\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$

Por tanto, en $x=1$ la función $\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}$: presenta una $\mathbf{\text{discontinuidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{salto}}\mathbf{\text{finito}}$ (el salto vale $3-1=2$).

$\mathbf{\text{En}}x=2$

En este punto la gráfica forma un pico, pero no se interrumpe. Los dos límites laterales coinciden con el valor de la función:

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=f(2)=3$

Se cumplen las tres condiciones, así que en $x=2$ la función $\mathbf{\text{s}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}$ (el pico solo indica que no es derivable ahí, pero eso no afecta a la continuidad).