Ejercicio resuelto de Funciones y continuidad · Matemáticas I

Estudia la continuidad de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente:

$\mathbf{\text{a)}}$ $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+4& \text{si }x\le 0\\ 2x& \text{si }x>0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}$ $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& \text{si }x\le 1\\ 2x+1& \text{si }x>1\end{array}$

$\mathbf{\text{c)}}$ $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1& \text{si }x\le -1\\ x^2-1& \text{si }x>-1\end{array}$

$\mathbf{\text{d)}}$ $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{3x-1}{2}}& \text{si }x\le 0\\ -x^2+1& \text{si }x>0\end{array}$

$\mathbf{\text{e)}}$ $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2}{2}}& \text{si }x\le 2\\ 2x+1& \text{si }x>2\end{array}$

$\mathbf{\text{f)}}$ $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-3& \text{si }x\le 2\\ 1& \text{si }x>2\end{array}$

$\mathbf{\text{g)}}$ $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-1& \text{si }x\le 1\\ {\displaystyle \frac{3x-1}{2}}& \text{si }x>1\end{array}$

$\mathbf{\text{h)}}$ $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+3& \text{si }x\le 0\\ 2x& \text{si }x>0\end{array}$

$\mathbf{\text{i)}}$ $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2}{2}}& \text{si }x\le -2\\ 2x+5& \text{si }x>-2\end{array}$

$\mathbf{\text{j)}}$ $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+3& \text{si }x\le 0\\ 3& \text{si }x>0\end{array}$

En cada caso los dos trozos son funciones polinómicas, continuas en su intervalo de definición; por tanto basta estudiar la continuidad en el punto de empalme comparando los límites laterales con el valor de la función. En las gráficas, el punto $\mathbf{\text{relleno}}$ indica el valor que toma $f$ y el punto $\mathbf{\text{hueco}}$ un valor que la función no alcanza.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Empalme}}\mathbf{\text{en}}x=0$

${\lim }_{x\to 0^{-}}(2x+4)=4$

${\lim }_{x\to 0^{+}}2x=0$

$f(0)=4$. Como los límites laterales son distintos ($4\mathrm{\ne }0$), hay una discontinuidad inevitable de salto finito en $x=0$, de salto $\mathrm{\mid }4-0\mathrm{\mid }=4$ unidades.

$\mathbf{\text{Continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbb{R}\setminus \{0\}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Empalme}}\mathbf{\text{en}}x=1$

${\lim }_{x\to 1^{-}}{x}^2=1$

${\lim }_{x\to 1^{+}}(2x+1)=3$

$f(1)=1$. Como $1\mathrm{\ne }3$, hay discontinuidad inevitable de salto finito en $x=1$, de salto $\mathrm{\mid }1-3\mathrm{\mid }=2$ unidades.

$\mathbf{\text{Continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbb{R}\setminus \{1\}$.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Empalme}}\mathbf{\text{en}}x=-1$

${\lim }_{x\to -1^{-}}(x+1)=0$

${\lim }_{x\to -1^{+}}(x^2-1)=0$

$f(-1)=-1+1=0$. Coinciden los dos límites laterales y el valor de la función, luego $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$.



$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Empalme}}\mathbf{\text{en}}x=0$

${\lim }_{x\to 0^{-}}{\displaystyle \frac{3x-1}{2}}={\displaystyle \frac{-1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\lim }_{x\to 0^{+}}(-x^2+1)=1$

$f(0)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Como $-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\ne }1$, hay discontinuidad inevitable de salto finito en $x=0$, de salto $\mid -{\displaystyle \frac{1}{2}}-1\mid ={\displaystyle \frac{3}{2}}$ unidades.

$\mathbf{\text{Continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbb{R}\setminus \{0\}$.



$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{Empalme}}\mathbf{\text{en}}x=2$

${\lim }_{x\to 2^{-}}{\displaystyle \frac{x^2}{2}}={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$

${\lim }_{x\to 2^{+}}(2x+1)=5$

$f(2)=2$. Como $2\mathrm{\ne }5$, hay discontinuidad inevitable de salto finito en $x=2$, de salto $\mathrm{\mid }2-5\mathrm{\mid }=3$ unidades.

$\mathbf{\text{Continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbb{R}\setminus \{2\}$.



$\mathbf{\text{f)}}\mathbf{\text{Empalme}}\mathbf{\text{en}}x=2$

${\lim }_{x\to 2^{-}}(x^2-3)=4-3=1$

${\lim }_{x\to 2^{+}}1=1$

$f(2)=1$. Coinciden los dos límites laterales y el valor de la función, luego $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$.



$\mathbf{\text{g)}}\mathbf{\text{Empalme}}\mathbf{\text{en}}x=1$

${\lim }_{x\to 1^{-}}(x^2-1)=0$

${\lim }_{x\to 1^{+}}{\displaystyle \frac{3x-1}{2}}={\displaystyle \frac{3-1}{2}}=1$

$f(1)=0$. Como $0\mathrm{\ne }1$, hay discontinuidad inevitable de salto finito en $x=1$, de salto $\mathrm{\mid }0-1\mathrm{\mid }=1$ unidad.

$\mathbf{\text{Continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbb{R}\setminus \{1\}$.



$\mathbf{\text{h)}}\mathbf{\text{Empalme}}\mathbf{\text{en}}x=0$

${\lim }_{x\to 0^{-}}(-x^2+3)=3$

${\lim }_{x\to 0^{+}}2x=0$

$f(0)=3$. Como $3\mathrm{\ne }0$, hay discontinuidad inevitable de salto finito en $x=0$, de salto $\mathrm{\mid }3-0\mathrm{\mid }=3$ unidades.

$\mathbf{\text{Continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbb{R}\setminus \{0\}$.



$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Empalme}}\mathbf{\text{en}}x=-2$

${\lim }_{x\to -2^{-}}{\displaystyle \frac{x^2}{2}}={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$

${\lim }_{x\to -2^{+}}(2x+5)=-4+5=1$

$f(-2)=2$. Como $2\mathrm{\ne }1$, hay discontinuidad inevitable de salto finito en $x=-2$, de salto $\mathrm{\mid }2-1\mathrm{\mid }=1$ unidad.

$\mathbf{\text{Continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbb{R}\setminus \{-2\}$.



$\mathbf{\text{j)}}\mathbf{\text{Empalme}}\mathbf{\text{en}}x=0$

${\lim }_{x\to 0^{-}}(-x^2+3)=3$

${\lim }_{x\to 0^{+}}3=3$

$f(0)=3$. Coinciden los dos límites laterales y el valor de la función, luego $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$.