Ejercicio resuelto de Funciones y continuidad · Matemáticas I

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x-1}{x^2-5x+6}}$, calcula el límite de $f(x)$ en $x=2$. Representa la información que obtengas.

Queremos calcular ${\displaystyle \underset{x\to 2}{\lim }f(x)}$ con $f(x)={\displaystyle \frac{x-1}{x^2-5x+6}}$.

$\mathbf{\text{1)}}\mathbf{\text{Factorizamos}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{denominador.}}$ Las raíces de $x^2-5x+6=0$ son $x=2$ y $x=3$, luego

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

Al sustituir $x=2$: el numerador vale $2-1=1\mathrm{\ne }0$ y el denominador vale $(2-2)(2-3)=0$. Tenemos la forma ${\displaystyle \frac{1}{0}}$, así que el límite será $\pm \mathrm{\infty }$ y debemos estudiar los límites laterales.

$\mathbf{\text{2)}}\mathbf{\text{Estudio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{signo}}\mathbf{\text{cerca}}\mathbf{\text{de}}x=2.$ El numerador tiende a $1>0$ y el factor $(x-3)$ tiende a $-1<0$; lo único que cambia de signo es el factor $(x-2)$.

Por la izquierda, $x\to 2^{-}$: como $x<2$ es $(x-2)<0$ y $(x-3)<0$, así que el denominador es $(-)\cdot (-)=(+)\to 0^{+}$:

${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{x-1}{(x-2)(x-3)}}={\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }}$

Por la derecha, $x\to 2^{+}$: como $x>2$ es $(x-2)>0$ y $(x-3)<0$, así que el denominador es $(+)\cdot (-)=(-)\to 0^{-}$:

${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{x-1}{(x-2)(x-3)}}={\displaystyle \frac{1}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }}$

$\mathbf{\text{3)}}\mathbf{\text{Conclusi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$ Los límites laterales son distintos $(+\mathrm{\infty }\mathrm{\ne }-\mathrm{\infty })$, por lo que $\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{existe}}$ el límite ${\displaystyle \underset{x\to 2}{\lim }f(x)}$. En $x=2$ la función tiene una asíntota vertical: la rama de la izquierda sube hacia $+\mathrm{\infty }$ y la de la derecha baja hacia $-\mathrm{\infty }$.

$\mathbf{\text{4)}}\mathbf{\text{Representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$ En la gráfica se ve cómo la curva se pega a la recta $x=2$ subiendo por la izquierda y bajando por la derecha. (Se aprecia también la otra asíntota vertical $x=3$, donde se anula igualmente el denominador.)