Ejercicio resuelto de Funciones y continuidad · Matemáticas I

A partir de la gráfica de $f(x)$ señala si es continua o no en $x=0$ y en $x=3$. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.

Recordamos que una función es continua en un punto $x=a$ cuando los dos límites laterales y el valor de la función coinciden: ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)={\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$.

$\mathbf{\text{En}}x=0$

Observando la gráfica, en este punto la función no presenta interrupción: el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función coinciden.

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0)$

Por tanto, en $x=0$ la función $\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}$.

$\mathbf{\text{En}}x=3$

La gráfica presenta una asíntota vertical en $x=3$: al acercarnos a ese valor la función crece sin límite (la curva se dispara hacia el infinito).

${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)=-\mathrm{\infty }{\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)=+\mathrm{\infty }$

Los límites laterales son infinitos (y además la función no está definida en $x=3$), por lo que el límite no es finito. En consecuencia, en $x=3$ la función $\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}$: se trata de una discontinuidad asintótica (de segunda especie o infinita), causada por la asíntota vertical $x=3$.