Ejercicio resuelto de Operaciones con radicales · Matemáticas I

Demostrar que son ciertas las siguientes igualdades:

a) $\sqrt{2-\sqrt{3}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(\sqrt{3}-1)$

b) $\sqrt{2+\sqrt{3}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(\sqrt{3}+1)$

Para demostrar una igualdad de la forma $\sqrt{A}=B$ con $B>0$, basta comprobar que $B^2=A$ (pues la raíz cuadrada y elevar al cuadrado son operaciones inversas para cantidades no negativas).

a) El segundo miembro es positivo, ya que $\sqrt{3}>1$ y por tanto ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(\sqrt{3}-1)>0$. Lo elevamos al cuadrado:

${({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(\sqrt{3}-1))}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}(\sqrt{3}-1{)}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}(3-2\sqrt{3}+1)={\displaystyle \frac{1}{2}}(4-2\sqrt{3})=2-\sqrt{3}$

Como el segundo miembro es positivo y su cuadrado es $2-\sqrt{3}$, queda demostrado que $\sqrt{2-\sqrt{3}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(\sqrt{3}-1)$.

b) De igual modo, el segundo miembro es positivo y lo elevamos al cuadrado:

${({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(\sqrt{3}+1))}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}(\sqrt{3}+1{)}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}(3+2\sqrt{3}+1)={\displaystyle \frac{1}{2}}(4+2\sqrt{3})=2+\sqrt{3}$

Como el segundo miembro es positivo y su cuadrado es $2+\sqrt{3}$, queda demostrado que $\sqrt{2+\sqrt{3}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(\sqrt{3}+1)$.