Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2024

P4. La serie espectral de Balmer a las transiciones de los electrones al nivel $2$ de energía del átomo de hidrógeno desde estados superiores. En un experimento conseguimos que un conjunto de átomos de hidrógeno y observamos fotones provenientes de dos transiciones distintas: una entre niveles separados por una diferencia de energía de $\mathrm{3,02}\cdot {10}^{-19}\text{J}$ (transición A) y otra entre niveles separados por $\mathrm{7,78}\cdot {10}^{-19}\text{J}$ (transición B). La luz proveniente de la lámpara se hace incidir contra una lámina de cesio, cuyo trabajo de extracción (o función trabajo) vale $\mathrm{2,1}\text{eV}$.

a) Determinar las frecuencias de los fotones emitidos en ambas transiciones atómicas. (1 punto)

b) Razonar con la luz de qué transición, A o B, se producirá efecto fotoeléctrico en el cesio. (1 punto)

c) Calcular la velocidad de los electrones emitidos en el caso anterior. (1 punto)

Datos: $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$; carga del electrón $=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{C}$; masa del electrón $=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{kg}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{frecuencias}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{fotones}}\mathbf{\text{emitidos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{transiciones}}\mathbf{\text{at}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{micas.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Cuando un electrón cae de un nivel superior a otro inferior, el átomo emite un fotón cuya energía coincide exactamente con la diferencia de energía entre los niveles. Aplicamos la hipótesis de Planck-Einstein:

$E=h\nu \Rightarrow \nu ={\displaystyle \frac{E}{h}}$

Para la transición A:

${\nu }_A={\displaystyle \frac{\mathrm{3,02}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}}=\mathrm{4,56}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

Para la transición B:

${\nu }_B={\displaystyle \frac{\mathrm{7,78}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}}=\mathrm{1,17}\cdot {10}^{15}\text{ Hz}$

La transición A emite luz visible, en la zona del rojo, y la B emite radiación ultravioleta.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Razonar}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{transici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{B,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{producir}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{efecto}}\mathbf{\text{fotoel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cesio.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










El efecto fotoeléctrico solo se produce si la energía de cada fotón incidente iguala o supera el trabajo de extracción del metal. Lo expresamos en julios:

$W=\mathrm{2,1}\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{3,36}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$





Comparamos ahora la energía de cada fotón con ese umbral. Para la transición A, $E_A=\mathrm{3,02}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$, menor que $W$, de modo que no hay emisión de electrones. Para la transición B, $E_B=\mathrm{7,78}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$, claramente mayor que $W$, de modo que sí la hay. En electronvoltios la comparación es aún más directa: $\mathrm{1,89}\text{ eV}$ frente a $\mathrm{4,86}\text{ eV}$, con un umbral de $\mathrm{2,1}\text{ eV}$.

El efecto fotoeléctrico en el cesio se produce, por tanto, únicamente con la luz de la transición B. Conviene recordar que aumentar la intensidad de la luz A no serviría de nada: el efecto depende de la energía de cada fotón, no del número de fotones.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{emitidos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Aplicamos la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico: la energía del fotón se reparte entre el trabajo de extracción y la energía cinética máxima del electrón arrancado.

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=E_B-W=\mathrm{7,78}\cdot {10}^{-19}-\mathrm{3,36}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{4,42}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Despejamos la velocidad de la expresión de la energía cinética:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}}{m}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{4,42}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}}}}$

$v=\mathrm{9,86}\cdot {10}^5\text{ m/s}$

Los electrones más rápidos salen del cesio a $\mathrm{9,86}\cdot {10}^5\text{ m/s}$, una velocidad muy inferior a la de la luz, lo que valida el tratamiento clásico de la energía cinética.