Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2025

Bloque 4: Física relativista, cuántica, nuclear y de partículas. Opción 4-A.

En un laboratorio de física de partículas, un físico observa un protón tarda $\mathrm{4,2}\cdot {10}^{-9}$ segundos en recorrer un tubo de vacío de $1\text{ m}$ de longitud.

a) (1,25p) Calcular la longitud de onda de De Broglie asociada al protón.

b) (1,25p) Determinar su energía cinética relativista, en el sistema de referencia del laboratorio (donde el protón se mueve) y en el sistema de referencia del protón en reposo. Calcular también el tiempo empleado por el protón en recorrer el tubo en el sistema de referencia de la nave de referencia del protón.
Datos: masa del protón $=\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}kg$, $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}$.

Antes de responder a los apartados obtenemos la velocidad del protón en el sistema del laboratorio, que es el dato común a los dos. El tubo mide $L=1\text{ m}$ y el protón lo recorre en $t=\mathrm{4,2}\cdot {10}^{-9}\text{ s}$:

$v={\displaystyle \frac{L}{t}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{4,2}\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{2,38}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$\beta ={\displaystyle \frac{v}{c}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,38}\cdot {10}^8}{3\cdot {10}^8}}=\mathrm{0,794}$

El protón se mueve a casi el $80\mathrm{\%}$ de la velocidad de la luz, así que el tratamiento debe ser relativista. Calculamos el factor de Lorentz:

$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{0,794}}^2}}}=\mathrm{1,64}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{Broglie}}\mathbf{\text{asociada}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La hipótesis de De Broglie asocia a toda partícula con cantidad de movimiento $p$ una longitud de onda:

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}$

Como la velocidad es relativista, la cantidad de movimiento es $p=\gamma mv$:

$p=\mathrm{1,64}\cdot \mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\cdot \mathrm{2,38}\cdot {10}^8=\mathrm{6,54}\cdot {10}^{-19}\text{ kg}\cdot \text{m/s}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{6,54}\cdot {10}^{-19}}}=\mathrm{1,01}\cdot {10}^{-15}\text{ m}$

La longitud de onda asociada es de $\mathrm{1,01}\cdot {10}^{-15}\text{ m}$, del orden del tamaño de un núcleo atómico.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{relativista,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{referencia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{laboratorio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{referencia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{reposo.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{empleado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{recorrer}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tubo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{referencia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La energía cinética relativista es la diferencia entre la energía total y la energía en reposo:

$E_c=\gamma m{c}^2-m{c}^2=(\gamma -1)m{c}^2$

La energía en reposo del protón vale:

$m{c}^2=\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\cdot (3\cdot {10}^8{)}^2=\mathrm{1,50}\cdot {10}^{-10}\text{ J}=938\text{ MeV}$

En el sistema del laboratorio, donde el protón se mueve con $\gamma =\mathrm{1,64}$:

$E_c=(\mathrm{1,64}-1)\cdot \mathrm{1,50}\cdot {10}^{-10}=\mathrm{9,68}\cdot {10}^{-11}\text{ J}=604\text{ MeV}$

En el sistema de referencia del propio protón este está en reposo, luego $\gamma =1$ y su energía cinética es nula:

$E_c^{\mathrm{\prime }}=(1-1)m{c}^2=0\text{ J}$

Una partícula nunca tiene energía cinética en su propio sistema de reposo: solo conserva su energía en reposo.










Para el tiempo observamos que la entrada y la salida del tubo son dos sucesos que, en el sistema del protón, ocurren en el mismo punto: es él quien está quieto y el tubo el que pasa. Ese intervalo es, por tanto, el tiempo propio, y se relaciona con el del laboratorio por la dilatación temporal:

$t^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{t}{\gamma }}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,2}\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{1,64}}}=\mathrm{2,56}\cdot {10}^{-9}\text{ s}$





El mismo resultado se obtiene por contracción de longitudes: el protón ve el tubo acortado a $L^{\mathrm{\prime }}=L\mathrm{/}\gamma =\mathrm{0,61}\text{ m}$ y, con la misma velocidad relativa, tarda $t^{\mathrm{\prime }}=L^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}v=\mathrm{2,56}\cdot {10}^{-9}\text{ s}$. Ambos caminos coinciden, como debe ser.