Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2026

Bloque 4: Física relativista, cuántica, nuclear y de partículas [2 puntos]

Opción 4-A.

a) [1p] Enuncie la hipótesis de De Broglie y calcule la longitud de onda asociada a un electrón cuya energía cinética es 100 eV. Datos: $1\text{ eV}=\mathrm{1,6}\times {10}^{-19}\text{ J}$, masa del electrón $=\mathrm{9,1}\times {10}^{-31}\text{ kg}$, $h=\mathrm{6,6}\times {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$.

b) [1p] Un astronauta de 70 kg viaja desde la Tierra hasta Alfa Centauri, la estrella más cercana a nuestro Sistema Solar, a una velocidad constante $v=\mathrm{0,8}c$. La distancia entre la Tierra y Alfa Centauri, medida desde la Tierra, es de 4 años-luz. Calcule el tiempo de viaje medido por el astronauta (en años) así como la energía cinética relativista del astronauta.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Enuncie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{hip}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{tesis}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{Broglie}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{asociada}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{cuya}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{es}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">100</mn><mtext> eV</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La hipótesis de De Broglie establece que toda partícula material en movimiento lleva asociada una onda, cuya longitud de onda es inversamente proporcional a su momento lineal:

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{h}{mv}}$

La materia presenta así el mismo carácter dual onda-corpúsculo que ya se conocía para la luz.

Como $100\text{ eV}$ es una energía muy pequeña frente a la energía en reposo del electrón, el tratamiento es no relativista y podemos escribir:

$E_c={\displaystyle \frac{p^2}{2m}}\Rightarrow p=\sqrt{2m{E}_c}$

Pasamos la energía cinética a julios:

$E_c=100\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-17}\text{ J}$

$p=\sqrt{2\cdot \mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-17}}=\mathrm{5,40}\cdot {10}^{-24}\text{ kg}\cdot \text{m/s}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{5,40}\cdot {10}^{-24}}}=\mathrm{1,22}\cdot {10}^{-10}\text{ m}$

La longitud de onda asociada es de $\mathrm{1,22}\cdot {10}^{-10}\text{ m}$, del orden del tamaño de un átomo: por eso los electrones difractan al atravesar redes cristalinas.












Calculamos primero el factor de Lorentz, que gobierna toda la relatividad especial:

$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-v^2\mathrm{/}{c}^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{0,8}}^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,6}}}=\mathrm{1,67}$





En el sistema de referencia de la Tierra la nave recorre $4$ años-luz a $\mathrm{0,8}c$, luego el tiempo terrestre de viaje es:

$t={\displaystyle \frac{d}{v}}={\displaystyle \frac{4}{\mathrm{0,8}}}=5\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

Para el astronauta la salida y la llegada ocurren en el mismo lugar de su nave, así que él mide el tiempo propio, relacionado con el terrestre por la dilatación temporal $t=\gamma t^{\mathrm{\prime }}$:

$t^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{t}{\gamma }}={\displaystyle \frac{5}{\mathrm{1,67}}}=3\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

La energía cinética relativista es la diferencia entre la energía total y la energía en reposo:

$E_c=\gamma m{c}^2-m{c}^2=(\gamma -1)m{c}^2$

$E_c=\mathrm{0,67}\cdot 70\cdot (3\cdot {10}^8{)}^2=\mathrm{4,2}\cdot {10}^{18}\text{ J}$

El astronauta envejece $3\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$ mientras en la Tierra transcurren $5$, y su energía cinética es de $\mathrm{4,2}\cdot {10}^{18}\text{ J}$: una cifra enorme que explica lo costoso que resulta acelerar masas hasta velocidades próximas a la de la luz.