Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2025

Bloque 4: Física relativista, cuántica, nuclear y de partículas. Opción 4-A.

a) (1{,}25 puntos) Explicar brevemente el concepto de dualidad onda-corpúsculo según la hipótesis de De Broglie.

b) (1{,}25 puntos) Si se ilumina una superficie de aluminio con luz de $238\text{nm}$ de longitud de onda. La función de trabajo (o trabajo de extracción) del aluminio es $\mathrm{4,2}\text{eV}$. Calcular la velocidad máxima de los electrones emitidos.
Datos: $h=\mathrm{6,63}\times {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$, masa del electrón $=\mathrm{9,1}\times {10}^{-31}\text{kg}$, carga del electrón $=-\mathrm{1,6}\times {10}^{-19}\text{C}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Explicar}}\mathbf{\text{brevemente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{concepto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dualidad}}\mathbf{\text{onda-corp}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{sculo}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{hip}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{tesis}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{Broglie.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La hipótesis de De Broglie extiende a toda la materia la dualidad onda-corpúsculo que ya se conocía para la luz. Postula que cualquier partícula en movimiento lleva asociada una onda, de manera que el comportamiento corpuscular, descrito por la masa y la cantidad de movimiento, y el ondulatorio, descrito por la longitud de onda, son dos aspectos complementarios de una misma realidad.

A una partícula con cantidad de movimiento $p=mv$ le corresponde la longitud de onda:

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{h}{mv}}$

Así, la luz se comporta unas veces como onda, en la interferencia y la difracción, y otras como corpúsculo, en el efecto fotoeléctrico; y recíprocamente los electrones, que consideramos partículas, difractan al atravesar un cristal, como comprobaron Davisson y Germer.

Como la constante de Planck es muy pequeña, la longitud de onda solo resulta apreciable para partículas de masa muy pequeña. Para un cuerpo macroscópico $\lambda$ es tan diminuta que ningún efecto ondulatorio es observable, y por eso el carácter ondulatorio de la materia solo se manifiesta a escala atómica.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ilumina}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aluminio}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">238</mn><mtext> nm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{aluminio}}\mathbf{\text{es}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">4,2</mn><mtext> eV</mtext></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{emitidos.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$










Aplicamos la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico: la energía del fotón incidente se invierte en arrancar el electrón, venciendo el trabajo de extracción, y en comunicarle energía cinética.

$E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}=W_0+E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}$





Calculamos la energía del fotón:

$E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}={\displaystyle \frac{hc}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot 3\cdot {10}^8}{238\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{8,36}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Expresamos el trabajo de extracción en julios:

$W_0=\mathrm{4,2}\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{6,72}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{8,36}\cdot {10}^{-19}-\mathrm{6,72}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{1,64}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Al ser positiva, la energía del fotón supera el trabajo de extracción y sí hay emisión de electrones. Despejamos por último la velocidad:

$v_{\max }=\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}}{m}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{1,64}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}}}}$

$v_{\max }=\mathrm{6,0}\cdot {10}^5\text{ m/s}$

Los electrones más rápidos salen del aluminio a $\mathrm{6,0}\cdot {10}^5\text{ m/s}$, velocidad muy inferior a la de la luz, lo que justifica el tratamiento no relativista.