Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Región de Murcia · 2024

P2. Una antena de telefonía móvil con tecnología 5G emite ondas electromagnéticas de $3500\text{MHz}$ con una potencia de $1300\text{W}$.

a) Calcular el periodo y la longitud de onda de la radiación emitida. (1 punto)

b) Determinar la distancia a la antena en que la intensidad es $100$ veces menor que la que había a $5\text{m}$ de distancia. (1 punto)

c) Si consideramos una ventana de $2{\text{m}}^2$ de área situada a $20\text{m}$ de la antena, calcular el número de fotones de esa radiación que atraviesan en un segundo la ventana. (1 punto)

Dato: $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{radiaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{emitida.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Las ondas electromagnéticas se propagan en el vacío a la velocidad de la luz. La frecuencia emitida es $f=3500\text{ MHz}=\mathrm{3,5}\cdot {10}^9\text{ Hz}$.

El periodo es el inverso de la frecuencia:

$T={\displaystyle \frac{1}{f}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{3,5}\cdot {10}^9}}=\mathrm{2,86}\cdot {10}^{-10}\text{ s}$

La longitud de onda se obtiene de $c=\lambda f$:

$\lambda ={\displaystyle \frac{c}{f}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{3,5}\cdot {10}^9}}=\mathrm{8,57}\cdot {10}^{-2}\text{ m}$

La radiación tiene un periodo de $\mathrm{2,86}\cdot {10}^{-10}\text{ s}$ y una longitud de onda de unos $\mathrm{8,57}\text{ cm}$, propia de la región de las microondas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{antena}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{es}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">100</mn>}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hab}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">5</mn><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distancia.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










La antena radia por igual en todas las direcciones, así que la potencia se reparte sobre una superficie esférica y la intensidad decae con el inverso del cuadrado de la distancia:

$I={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{I_1}{I_2}}={\displaystyle \frac{r_2^2}{r_1^2}}$





Queremos que la intensidad sea cien veces menor, es decir, $I_1\mathrm{/}{I}_2=100$. Despejamos:

$r_2=r_1\sqrt{{\displaystyle \frac{I_1}{I_2}}}=5\cdot \sqrt{100}=50\text{ m}$

A $50\text{ m}$ de la antena la intensidad es cien veces menor que a $5\text{ m}$. Es coherente con la dependencia cuadrática: para dividir la intensidad por $100$ basta multiplicar la distancia por $10$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{consideramos}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{ventana}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mtext> </mtext><msup><mtext>m</mtext><mn\; mathvariant="bold">2</mn></msup></mrow>}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">20</mn><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{antena,}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fotones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{radiaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{atraviesan}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ventana.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Calculamos primero la intensidad a esa distancia:

$I={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}={\displaystyle \frac{1300}{4\pi \cdot {20}^2}}=\mathrm{0,259}{\text{W/m}}^2$

La potencia que atraviesa la ventana es la intensidad por su área:

$P_v=I\cdot A=\mathrm{0,259}\cdot 2=\mathrm{0,517}\text{ W}$

Cada fotón transporta, según la hipótesis de Planck-Einstein, una energía:

$E=hf=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{3,5}\cdot {10}^9=\mathrm{2,32}\cdot {10}^{-24}\text{ J}$

El número de fotones por segundo es la energía que llega cada segundo dividida entre la de un fotón:

$N={\displaystyle \frac{P_v}{E}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,517}}{\mathrm{2,32}\cdot {10}^{-24}}}=\mathrm{2,23}\cdot {10}^{23}\text{ fotones/s}$

Atraviesan la ventana $\mathrm{2,23}\cdot {10}^{23}$ fotones cada segundo. La cifra, enorme, refleja que a esta frecuencia cada fotón tiene una energía minúscula y hacen falta muchísimos para transportar una potencia del orden del vatio.