Ejercicio resuelto de Ondas · Física · País Vasco · 2023

2. Una onda transversal se propaga de derecha a izquierda por una cuerda muy larga con una velocidad de propagación de $30m\mathrm{/}s$, siendo su longitud de onda $\lambda =1.5m$ y la amplitud de vibración de $0.2m$. Tomando el origen de coordenadas en el extremo de la derecha y en el instante $t=0$, el extremo derecho de la cuerda se encuentra en la posición de desplazamiento nulo y sentido positivo de velocidad de oscilación. Determina:

a) el número de ondas y la frecuencia angular.
b) la ecuación que describe el movimiento ondulatorio de la cuerda.
c) la velocidad y aceleración máximas de vibración alcanzadas por un punto de la onda.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ondas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{angular.}}$

El número de onda es el periodo espacial expresado en radianes por metro, y la frecuencia angular, el periodo temporal en radianes por segundo. Se obtienen de la longitud de onda y de la frecuencia, que a su vez sale de la relación entre velocidad, frecuencia y longitud de onda.

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{1,5}}}={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}=\mathrm{4,19}\text{ rad/m}$

$f={\displaystyle \frac{v}{\lambda }}={\displaystyle \frac{30}{\mathrm{1,5}}}=20\text{ Hz}$

$\omega =2\pi f=40\pi =\mathrm{125,7}\text{ rad/s}$

El número de onda vale $4\pi \mathrm{/}3\text{ rad/m}$ y la frecuencia angular, $40\pi \text{ rad/s}$, lo que corresponde a un periodo de $\mathrm{0,05}\text{ s}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{describe}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{movimiento}}\mathbf{\text{ondulatorio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda.}}$

Como la onda se propaga de derecha a izquierda, es decir, en el sentido negativo del eje $X$, los términos temporal y espacial de la fase llevan el mismo signo:

$y(x,t)=A\mathrm{sen}(\omega t+kx+{\varphi }_0)$

La fase inicial se determina con las dos condiciones del enunciado sobre el extremo derecho, que es el origen de coordenadas. La primera es que en $t=0$ su desplazamiento es nulo:

$y(0,0)=A\mathrm{sen}{\varphi }_0=0\Rightarrow {\varphi }_0=0\text{ rad}\text{o}{\varphi }_0=\pi \text{ rad}$

La segunda, que en ese instante la velocidad de oscilación es positiva, permite elegir entre las dos. Derivando respecto del tiempo:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=A\omega \cos (\omega t+kx+{\varphi }_0)$

$v_y(0,0)=A\omega \cos {\varphi }_0>0\Rightarrow \cos {\varphi }_0>0\Rightarrow {\varphi }_0=0$

Se descarta $\pi$, cuyo coseno es negativo y correspondería a un punto que baja. Sustituyendo todos los valores:

$y(x,t)=\mathrm{0,2}\mathrm{sen}(40\pi t+{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}x)\text{ m}$

La ecuación de la onda es la anterior, con $x$ e $y$ en metros y $t$ en segundos.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vibraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{alcanzadas}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}$

No debe confundirse la velocidad de vibración de los puntos de la cuerda, que es lo que se pide, con la velocidad de propagación de la onda, que es constante e igual a $30\text{ m/s}$. La primera se obtiene derivando la elongación respecto del tiempo, y la aceleración, derivando otra vez.

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=A\omega \cos (\omega t+kx)$

$a_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }{v}_y}{\mathrm{\partial }t}}=-A{\omega }^2\mathrm{sen}(\omega t+kx)=-{\omega }^{2}y$

Los valores máximos se alcanzan cuando el coseno y el seno valen la unidad, respectivamente:

$v_{y,max}=A\omega =\mathrm{0,2}\cdot 40\pi =8\pi =\mathrm{25,1}\text{ m/s}$

$a_{y,max}=A{\omega }^2=\mathrm{0,2}\cdot {\left(40\pi \right)}^2=320{\pi }^2=\mathrm{3,16}\cdot {10}^3{\text{m/s}}^2$

La velocidad máxima de vibración es de $\mathrm{25,1}\text{ m/s}$ y se alcanza al pasar cada punto por su posición de equilibrio; la aceleración máxima es de $\mathrm{3,16}\cdot {10}^3{\text{m/s}}^2$ y se alcanza en los extremos de la oscilación, donde el punto se detiene e invierte el sentido. Nótese que ambas están en cuadratura: donde una es máxima, la otra se anula.