Ejercicio resuelto de Ondas · Física · País Vasco · 2025

Problema, BLOQUE C: Vibraciones y Ondas, y Óptica
C2.- Una onda armónica unidimensional, y que se propaga en un medio con una velocidad de $400m{s}^{-1}$, está descrita por la siguiente expresión matemática:
$y(x,t)=3sen(kx-200\pi t+{\varphi }_0)cm$
donde $x$ y $t$ están en $m$ y $s$, respectivamente.
Sabiendo que $y(0,0)=1.5cm$, y que la velocidad de oscilación en $t=0$ y $x=0$ es positiva, halla:

1. El número de onda $k$ y la fase inicial ${\varphi }_0$.
2. La aceleración máxima de oscilación de un punto genérico del eje $x$.

Comparando la expresión del enunciado con la forma general de una onda armónica $y=A\mathrm{sen}(kx-\omega t+{\varphi }_0)$ se identifica la amplitud, $A=3\text{ cm}$, y la frecuencia angular, $\omega =200\pi \text{ rad/s}$. El número de onda se obtiene de la relación entre la velocidad de propagación y esas dos magnitudes:

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}\Rightarrow k={\displaystyle \frac{\omega }{v}}={\displaystyle \frac{200\pi }{400}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad/m}$

$k=\mathrm{1,57}\text{ rad/m}(\lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}=4\text{ m})$

Para la fase inicial se impone la condición sobre la elongación en el origen:

$y(0,0)=3\mathrm{sen}{\varphi }_0=\mathrm{1,5}\Rightarrow \mathrm{sen}{\varphi }_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\varphi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{ rad}\text{o}{\varphi }_0={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\text{ rad}$

Hay dos ángulos del intervalo $[0,2\pi )$ cuyo seno vale un medio, así que la condición sobre la elongación no basta para elegir. Se recurre a la segunda condición, la del signo de la velocidad de oscilación, que se obtiene derivando la elongación respecto del tiempo:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=-A\omega \cos (kx-\omega t+{\varphi }_0)$

$v_y(0,0)=-3\cdot 200\pi \cos {\varphi }_0>0\Rightarrow \cos {\varphi }_0<0$

El coseno es negativo en el segundo cuadrante y positivo en el primero, de modo que se descarta $\pi \mathrm{/}6$.

${\varphi }_0={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\text{ rad}$

El número de onda es $\pi \mathrm{/}2\text{ rad/m}$ y la fase inicial, $5\pi \mathrm{/}6\text{ rad}$. La figura muestra las dos candidatas: ambas pasan por $\mathrm{1,5}\text{ cm}$ en el instante inicial, pero solo la de $5\pi \mathrm{/}6$ lo hace subiendo.



$\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{oscilaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{gen}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rico}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{eje}}\mathit{x}\mathbf{\text{.}}$

La aceleración de oscilación se obtiene derivando de nuevo respecto del tiempo:

$a_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }{v}_y}{\mathrm{\partial }t}}=-A{\omega }^2\mathrm{sen}(kx-\omega t+{\varphi }_0)=-{\omega }^{2}y$

Se reconoce la ecuación característica del movimiento armónico simple: la aceleración es proporcional a la elongación y de signo contrario. Su valor máximo se alcanza en los extremos, donde el seno vale $\pm 1$, es decir, donde la elongación es la amplitud.

$a_{max}=A{\omega }^2=\mathrm{0,03}\cdot (200\pi {)}^2=\mathrm{0,03}\cdot \mathrm{3,95}\cdot {10}^5$

$a_{max}=\mathrm{1,18}\cdot {10}^4{\text{m/s}}^2$

La aceleración máxima de oscilación de cualquier punto del medio es de $\mathrm{1,18}\cdot {10}^4{\text{m/s}}^2$, y se alcanza en los instantes en que el punto pasa por las posiciones de máxima elongación. No debe confundirse con ninguna aceleración del avance de la onda: los puntos del medio solo oscilan perpendicularmente, mientras la perturbación viaja a $400\text{ m/s}$ constantes.