Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Galicia · 2026

PREGUNTA 3. ONDAS Y ÓPTICA GEOMÉTRICA. (2,5 puntos)

3.1. Indique y justifique la respuesta correcta. (1 punto)

Para obtener una imagen virtual y derecha con una lente delgada convergente de potencia 10 D, el objeto debe estar colocado, con respecto a la lente a: a) una distancia menor de 10 cm; b) una distancia mayor que 10 y menor que 20 cm; c) una distancia mayor que 20 cm; d) no es posible obtener una imagen virtual y derecha en este caso.

3.2. Resuelva uno de estos dos problemas. (1,5 puntos)

3.2.1. Un rayo de luz incide desde un medio A de índice de refracción $n_A$ a otro B de índice de refracción $n_B$. Los índices de refracción de los dos medios verifican la relación $n_A+n_B=3$. Si el ángulo de incidencia desde A hacia B es superior o igual a 49,88º se observaría reflexión total. a) Calcule los valores de los índices de refracción de los medios. b) ¿En cuál de los dos medios la luz se propaga a mayor velocidad? Razone la respuesta.

3.2.2. Una onda armónica unidimensional viene dada por la ecuación: $y(t,x)=4\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}[2\pi (50t-\mathrm{0,20}x)]$, en unidades del SI. Calcule: a) la velocidad de propagación; b) la velocidad máxima de una partícula del medio en el que se propaga la onda.

$\mathbf{\text{3.1.}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta}}\mathbf{\text{correcta.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La respuesta correcta es la a): el objeto debe estar a una distancia menor de 10 cm de la lente.

La potencia de una lente delgada es la inversa de su distancia focal imagen:

$P={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{P}}={\displaystyle \frac{1}{10}}=\mathrm{0,10}\text{ m}=10\text{ cm}$










Una lente convergente solo da imagen virtual y derecha cuando el objeto se sitúa entre el foco objeto y la lente. En el trazado de rayos se ve que entonces los rayos emergentes divergen y es su prolongación hacia atrás la que se corta, en el mismo lado que el objeto: la imagen es virtual, derecha y mayor (es el uso de la lente como lupa).





Se puede comprobar con la ecuación de las lentes delgadas, tomando por ejemplo $s=-6\text{ cm}$:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{1}{-6}}=-{\displaystyle \frac{1}{15}}\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=-15\text{ cm}$

$\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{-15}{-6}}=+\mathrm{2,5}$

El aumento es positivo y mayor que la unidad, luego la imagen es derecha y mayor, y $s^{\mathrm{\prime }}<0$ confirma que es virtual. Si el objeto estuviese a más de 10 cm la imagen sería real e invertida, y a 20 cm sería real, invertida y del mismo tamaño; por eso se descartan las opciones b), c) y d).



a) Que exista reflexión total al pasar de A a B exige que A sea el medio más refringente, es decir, $n_A>n_B$. El ángulo límite es el ángulo de incidencia al que corresponde un ángulo de refracción de ${90}^{\circ }$. Aplicando la ley de Snell:

$n_A\text{sen}{\widehat{\mathrm{ı}}}_L=n_B\text{sen}{90}^{\circ }$

$\text{sen}{\widehat{\mathrm{ı}}}_L={\displaystyle \frac{n_B}{n_A}}$

$\text{sen}{\mathrm{49,88}}^{\circ }={\displaystyle \frac{n_B}{n_A}}=\mathrm{0,7647}$

Junto con la condición del enunciado se tiene un sistema de dos ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}{n}_A+n_B=3\\ n_B=\mathrm{0,7647}{n}_A\end{array}$

Sustituyendo la segunda en la primera:

$n_A(1+\mathrm{0,7647})=3\Rightarrow n_A={\displaystyle \frac{3}{\mathrm{1,7647}}}=\mathrm{1,70}$

$n_B=3-\mathrm{1,70}=\mathrm{1,30}$

Los índices de refracción son $n_A=\mathrm{1,70}$ y $n_B=\mathrm{1,30}$.










b) El índice de refracción de un medio es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en ese medio:

$n={\displaystyle \frac{c}{v}}\Rightarrow v={\displaystyle \frac{c}{n}}$

La velocidad es inversamente proporcional al índice, así que la luz se propaga más deprisa en el medio de índice menor, el medio B.





$v_A={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,70}}}=\mathrm{1,76}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$v_B={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,30}}}=\mathrm{2,31}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

La luz se propaga a mayor velocidad en el medio B, que es el menos refringente.



Comparamos la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje $X$:

$y(t,x)=A\text{sen}(\omega t-kx)$

$y(t,x)=4\text{sen}[2\pi (50t-\mathrm{0,20}x)]=4\text{sen}(100\pi t-\mathrm{0,40}\pi x)$

Identificando términos:

$A=4\text{ m}$

$\omega =100\pi \text{ rad/s}\Rightarrow f={\displaystyle \frac{\omega }{2\pi }}=50\text{ Hz}$

$k=\mathrm{0,40}\pi \text{ rad/m}\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{2\pi }{k}}=\mathrm{5,0}\text{ m}$

a) La velocidad de propagación de la onda es:

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}={\displaystyle \frac{100\pi }{\mathrm{0,40}\pi }}=250\text{ m/s}$

Se comprueba con $v=\lambda f=\mathrm{5,0}\cdot 50=250\text{ m/s}$. La onda se propaga a $250\text{ m/s}$.

b) Cada partícula del medio describe un movimiento armónico simple de amplitud $A$ y frecuencia angular $\omega$. Su velocidad es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=A\omega \cos (\omega t-kx)$

El valor máximo se alcanza cuando el coseno vale $\pm 1$:

$v_{y,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=A\omega =4\cdot 100\pi =\mathrm{1,26}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La velocidad máxima de una partícula del medio es $\mathrm{1,26}\cdot {10}^3\text{ m/s}$. No hay que confundirla con la velocidad de propagación de la onda: la primera es la velocidad de vibración de las partículas y la segunda la velocidad con la que avanza la perturbación.