Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Región de Murcia · 2024

C2. Una lámina de un material con un índice de refracción $n_2$ está rodeada por medios con índices de refracción $n_1$ y $n_3$. Si una rayo de luz incide con un ángulo ${\theta }_1$ tal como se muestra en el dibujo, justificar cuál de las siguientes condiciones se ha de cumplir para que ${\theta }_3$ sea menor que ${\theta }_1$:

a) $n_1>n_3$; b) $n_3>n_1$; c) $n_1>n_2$ (1 punto)

El rayo atraviesa dos superficies planas y paralelas: primero pasa del medio $n_1$ a la lámina y después de la lámina al medio $n_3$. Aplicamos la ley de Snell en cada una de ellas.

En la primera interfase:

$n_1\text{sen}{\theta }_1=n_2\text{sen}{\theta }_2$

En la segunda:

$n_2\text{sen}{\theta }_2=n_3\text{sen}{\theta }_3$










Como las dos caras de la lámina son paralelas, la normal es la misma en ambas y el ángulo refractado dentro de la lámina es a la vez el de incidencia sobre la segunda cara. El término $n_2\text{sen}{\theta }_2$ es común a las dos ecuaciones, de modo que el índice intermedio se cancela:

$n_1\text{sen}{\theta }_1=n_3\text{sen}{\theta }_3$





Despejamos el seno del ángulo de salida:

$\text{sen}{\theta }_3={\displaystyle \frac{n_1}{n_3}}\text{sen}{\theta }_1$

Ambos ángulos están comprendidos entre $0^{\circ }$ y ${90}^{\circ }$, donde el seno es creciente, así que exigir ${\theta }_3<{\theta }_1$ equivale a exigir $\text{sen}{\theta }_3<\text{sen}{\theta }_1$:

${\displaystyle \frac{n_1}{n_3}}<1\Rightarrow n_3>n_1$

La condición que ha de cumplirse es, por tanto, la b). El razonamiento físico es directo: el rayo solo se acerca a la normal al pasar a un medio más refringente, y aunque dentro de la lámina se desvíe, al salir recupera una dirección que depende únicamente de los medios de entrada y de salida.

Conviene descartar expresamente las otras dos opciones. Con $n_1>n_3$ resultaría $\text{sen}{\theta }_3>\text{sen}{\theta }_1$ y el rayo saldría más abierto. Y la comparación entre $n_1$ y $n_2$ es irrelevante, pues el índice intermedio se cancela y no interviene en la relación entre ${\theta }_1$ y ${\theta }_3$.