Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Región de Murcia · 2025

Bloque 3: Vibraciones y Ondas. Opción 3-B.

a) (1,25p) (i) Explicar el concepto de ángulo límite (o crítico) y deducir su expresión para el caso de la refracción de la luz entre dos medios con índices de refracción $n_1$ y $n_2$, donde $n_1>n_2$. (ii) Sabiendo que el ángulo límite para la luz que pasa del diamante al aire es de $25\mathrm{°}$, calcular la velocidad de la luz en el diamante.

b) (1,25p) La agudeza visual de una persona es tal que puede distinguir objetos que forman una imagen de al menos $4\mu m$ de tamaño en su retina. Supongamos que el ojo (incluyendo la córnea, el cristalino y los humores) puede modelizarse de manera efectiva como una lente delgada en aire, con la retina situada a $24mm$ de la lente. ¿Cuál es la distancia máxima a la que esta persona puede leer con claridad unas letras de $1mm$ de tamaño? ¿Cuál sería la potencia de la lente efectiva?

i) Cuando la luz pasa de un medio más refringente a otro menos refringente el rayo refractado se aleja de la normal. El ángulo límite ${\theta }_c$ es el ángulo de incidencia para el cual el rayo refractado sale rasante a la superficie, con ${90}^{\circ }$ de refracción. Para incidencias mayores ya no hay rayo refractado: se produce reflexión total interna.





Lo deducimos aplicando la ley de Snell en la frontera con ${\theta }_2={90}^{\circ }$:

$n_1\text{sen}{\theta }_1=n_2\text{sen}{\theta }_2$

$n_1\text{sen}{\theta }_c=n_2\text{sen}{90}^{\circ }=n_2$

$\text{sen}{\theta }_c={\displaystyle \frac{n_2}{n_1}}$

Como $n_1>n_2$, el cociente es menor que la unidad y el ángulo límite existe siempre.

ii) El medio menos refringente es el aire, con $n_2=1$. Despejamos el índice del diamante:

$n_1={\displaystyle \frac{1}{\text{sen}{\theta }_c}}={\displaystyle \frac{1}{\text{sen}{25}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,4226}}}=\mathrm{2,37}$

El índice de refracción es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y en el medio, $n=c\mathrm{/}v$, luego:

$v={\displaystyle \frac{c}{n_1}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{2,37}}}=\mathrm{1,27}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

En el diamante la luz viaja a $\mathrm{1,27}\cdot {10}^8\text{ m/s}$, menos de la mitad que en el vacío, lo que explica su elevado índice y su pequeño ángulo límite.



La imagen se forma sobre la retina, así que la distancia imagen es $s^{\mathrm{\prime }}=24\text{ mm}=\mathrm{0,024}\text{ m}$. Los tamaños son $y=1\text{ mm}$ para la letra y $\mathrm{\mid }{y}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=4\mu \text{m}$ para su imagen.

El aumento lateral de una lente delgada relaciona los tamaños con las distancias:

$\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{y}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}$

Cuanto más lejos está la letra, menor es su imagen; la distancia máxima corresponde por tanto al tamaño mínimo de imagen que el ojo distingue. Despejamos:

$s=s^{\mathrm{\prime }}{\displaystyle \frac{y}{\mathrm{\mid }{y}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }}}=\mathrm{0,024}\cdot {\displaystyle \frac{{10}^{-3}}{4\cdot {10}^{-6}}}=\mathrm{0,024}\cdot 250=6\text{ m}$

Para la potencia aplicamos la ecuación de las lentes delgadas, con la distancia objeto medida como magnitud positiva delante de la lente:

$P={\displaystyle \frac{1}{f}}={\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,024}}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}$

$P=\mathrm{41,67}+\mathrm{0,17}=\mathrm{41,8}\text{ D}$

La persona puede leer letras de $1\text{ mm}$ hasta $6\text{ m}$ de distancia, y para enfocarlas su ojo trabaja con una potencia de unas $\mathrm{41,8}\text{dioptr}\acute{\text{ı}}\text{as}$, casi toda ella dedicada a formar la imagen sobre la retina, ya que el objeto está muy lejos frente a la corta distancia focal del ojo.