Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Región de Murcia · 2024

P3. En las especificaciones de una lente de una cámara fotográfica, leemos que su distancia focal es $50mm$, que está hecha de un vidrio de sílex cuyo índice de refracción es $\mathrm{1,6}$ y que es planoconvexa.

a) Determinar el radio de curvatura de la cara curva de la lente. (1 punto)

b) Calcular a qué distancia de la lente habría que colocar un objeto para que su imagen tenga la mitad de tamaño (en valor absoluto) que el tamaño del objeto. (1 punto)

c) Si un rayo láser incide desde el aire sobre la cara plana de la lente con un ángulo de ${45}^{\circ }$ respecto de la normal, determinar el ángulo que forma el láser dentro de la lente respecto de la normal. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{curvatura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{curva}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Aplicamos la ecuación del constructor de lentes para una lente delgada en aire:

${\displaystyle \frac{1}{f}}=(n-1)({\displaystyle \frac{1}{R_1}}-{\displaystyle \frac{1}{R_2}})$

La lente es planoconvexa, así que una de sus caras es plana y su radio es infinito, con lo que su término se anula. Llamando $R$ al radio de la cara curva:

${\displaystyle \frac{1}{f}}=(n-1){\displaystyle \frac{1}{R}}\Rightarrow R=(n-1)f$

Sustituimos:

$R=(\mathrm{1,6}-1)\cdot 50=30\text{ mm}$

El radio de curvatura de la cara curva es de $30\text{ mm}$, y resulta positivo, coherente con que la cara sea convexa y la lente convergente.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{colocar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{(en}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{absoluto)}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Una lente convergente forma de un objeto real una imagen real e invertida, de modo que el aumento lateral es negativo. Si la imagen mide la mitad:

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{s}{2}}$





Llevamos esta relación a la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f}}$

$-{\displaystyle \frac{2}{s}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f}}\Rightarrow -{\displaystyle \frac{3}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f}}$

$s=-3f=-150\text{ mm}$

El signo negativo indica que el objeto está delante de la lente, como debe ser. Hay que colocarlo, por tanto, a $15\text{ cm}$ de la lente; la imagen se forma entonces a $\mathrm{7,5}\text{ cm}$ al otro lado, real, invertida y de la mitad de tamaño.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{incide}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{plana}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<msup><mn\; mathvariant="bold">45</mn><mo\; mathvariant="bold-italic"\; lspace="0em"\; rspace="0em">\circ </mo></msup>}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{normal,}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{normal.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

En la cara plana la luz pasa del aire al vidrio, de modo que aplicamos la ley de Snell:

$n_{\text{aire}}\text{sen}\widehat{\mathrm{ı}}=n_{\text{vidrio}}\text{sen}\widehat{r}$

Despejamos el ángulo de refracción:

$\text{sen}\widehat{r}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,6}}}\text{sen}{45}^{\circ }={\displaystyle \frac{\mathrm{0,7071}}{\mathrm{1,6}}}=\mathrm{0,4419}$

$\widehat{r}={\mathrm{26,2}}^{\circ }$

Dentro del vidrio el láser forma ${\mathrm{26,2}}^{\circ }$ con la normal. Al pasar a un medio ópticamente más denso el rayo se acerca a la normal, lo que confirma la coherencia del resultado.