Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Región de Murcia · 2024

P2. Por una cuerda se propaga una onda armónica en el sentido positivo del eje $x$. La Figura 1 representa la elongación de la cuerda en el instante $t=0$, y la Figura 2 representa la elongación de la cuerda, en función del tiempo, en la posición $x=2cm$.



a) Determinar la longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de propagación. (1 punto)

b) Escribir la ecuación de la onda, $y(x,t)$. (1 punto)

c) Calcular la velocidad de vibración máxima y la aceleración máxima de un punto de la cuerda. (1 punto)

De las dos gráficas del enunciado obtenemos directamente los datos del movimiento. La Figura 1 es una fotografía de la cuerda en $t=0$ y da la amplitud y la longitud de onda; la Figura 2 describe la oscilación del punto $x=2\text{ cm}$ a lo largo del tiempo y da la amplitud y el periodo. En ambas la amplitud es $A=2\text{ cm}=\mathrm{0,02}\text{ m}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

En la Figura 1 el patrón espacial se repite cada $2\text{ cm}$, luego:

$\lambda =2\text{ cm}=\mathrm{0,02}\text{ m}$

En la Figura 2 la oscilación temporal se repite cada $3\text{ s}$, de modo que $T=3\text{ s}$ y la frecuencia es su inversa:

$f={\displaystyle \frac{1}{T}}={\displaystyle \frac{1}{3}}=\mathrm{0,33}\text{ Hz}$

La velocidad de propagación relaciona ambas magnitudes:

$v=\lambda f={\displaystyle \frac{\mathrm{0,02}}{3}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-3}\text{ m/s}$



Como la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$, su ecuación general es:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx+{\phi }_0)$

Calculamos la pulsación y el número de onda:

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\text{ rad/s}k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}=100\pi \text{ rad/m}$

La fase inicial la fija la Figura 2: en $x=2\text{ cm}$ y $t=0$ la elongación es nula y el punto empieza a subir, así que el argumento del seno debe anularse en ese instante:

$-k\cdot \mathrm{0,02}+{\phi }_0=-2\pi +{\phi }_0=0\Rightarrow {\phi }_0=2\pi \equiv 0\text{ rad}$

La ecuación de la onda en unidades del Sistema Internacional es, por tanto:

$y(x,t)=\mathrm{0,02}\text{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}t-100\pi x)$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vibraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La velocidad de vibración de un punto se obtiene derivando la elongación respecto del tiempo:

$v_y={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=A\omega \cos (\omega t-kx)$

y alcanza su máximo cuando el coseno vale la unidad:

$v_{\max }=A\omega =\mathrm{0,02}\cdot {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}=\mathrm{4,19}\cdot {10}^{-2}\text{ m/s}$

Derivando de nuevo obtenemos la aceleración, que resulta proporcional a la elongación cambiada de signo, como corresponde a un movimiento armónico simple:

$a_y={\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}y}{\mathrm{\partial }{t}^2}}=-A{\omega }^2\text{sen}(\omega t-kx)=-{\omega }^{2}y$

$a_{\max }=A{\omega }^2=\mathrm{0,02}\cdot {\left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)}^2=\mathrm{8,77}\cdot {10}^{-2}{\text{m/s}}^2$

Cada punto de la cuerda vibra con una rapidez máxima de $\mathrm{4,19}\text{ cm/s}$, alcanzada al pasar por la posición de equilibrio, y con una aceleración máxima de $\mathrm{8,77}{\text{cm/s}}^2$, alcanzada en los extremos de la oscilación.