Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Región de Murcia · 2024

C2. Un altavoz emite ondas sonoras con una potencia de $450W$. Calcular la distancia mínima a la que deberíamos colocarnos para no superar el umbral de dolor $(120dB)$.

Dato: $I_0={10}^{-12}W\mathrm{/}{m}^2$.

$\mathbf{\text{C2.}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{altavoz}}\mathbf{\text{emite}}\mathbf{\text{ondas}}\mathbf{\text{sonoras}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">450</mn><mtext> W</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{amos}}\mathbf{\text{colocarnos}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{superar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dolor}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">120</mn><mtext> dB</mtext><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Empezamos por averiguar qué intensidad corresponde al umbral de dolor. El nivel de intensidad sonora se define en escala logarítmica frente a la intensidad umbral de audición:

$\beta =10\log \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{I}{I_0}}\right)\Rightarrow I=I_0\cdot {10}^{\beta \mathrm{/}10}$

Sustituyendo $\beta =120\text{ dB}$:

$I={10}^{-12}\cdot {10}^{12}=1{\text{W/m}}^2$










El altavoz radia por igual en todas las direcciones, de modo que a una distancia $r$ toda la potencia se reparte sobre la superficie de una esfera de radio $r$:

$I={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}\Rightarrow r=\sqrt{{\displaystyle \frac{P}{4\pi I}}}$





Sustituimos la potencia del altavoz y la intensidad del umbral de dolor:

$r=\sqrt{{\displaystyle \frac{450}{4\pi \cdot 1}}}=\sqrt{\mathrm{35,8}}=\mathrm{5,98}\text{ m}$

Hay que situarse al menos a unos $6\text{ m}$ del altavoz: más cerca, la intensidad superaría $1{\text{W/m}}^2$ y se rebasaría el umbral de dolor.