Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Región de Murcia · 2023

P4. Consideremos una bombilla roja y una violeta que emiten luz de $750\text{ nm}$ y $400\text{ nm}$ de color de la luz que emiten. Disponemos también de una lente biconvexa simétrica hecha de un vidrio de sílex cuyo índice de refracción vale $\mathrm{1,7}$ para la luz roja y $\mathrm{1,8}$ para la violeta. Al colocar la bombilla roja a $11\text{ cm}$ a la izquierda de la lente se proyecta su imagen en una pantalla a $110\text{ cm}$ a la derecha de la lente. Determinar:

a) Las frecuencias de las luces roja y violeta. (1 punto)

b) La potencia de la lente para la luz roja y el radio de curvatura de las superficies de la lente. (1 punto)

c) Dónde habría que colocar la pantalla si sustituimos la bombilla roja por la violeta. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{frecuencias}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{luces}}\mathbf{\text{roja}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{violeta.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

En el vacío la frecuencia y la longitud de onda están ligadas por la velocidad de la luz:

$f={\displaystyle \frac{c}{\lambda }}$

Para la luz roja, de $750\text{ nm}$:

$f_R={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{750\cdot {10}^{-9}}}=4\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

Y para la violeta, de $400\text{ nm}$:

$f_V={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{400\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{7,5}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

La luz violeta, de menor longitud de onda, tiene casi el doble de frecuencia que la roja.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{roja}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{curvatura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{superficies}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Aplicamos la ecuación de las lentes delgadas con los datos del montaje: el objeto está $11\text{ cm}$ a la izquierda, luego $s=-\mathrm{0,11}\text{ m}$, y la imagen se recoge $110\text{ cm}$ a la derecha, luego $s^{\mathrm{\prime }}=+\mathrm{1,10}\text{ m}$.

$P={\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,10}}}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,11}}}=\mathrm{0,909}+\mathrm{9,091}=10\text{ D}$

La potencia para la luz roja es de $10\text{dioptr}\acute{\text{ı}}\text{as}$, es decir, una focal de $10\text{ cm}$.

Para el radio recurrimos a la ecuación del constructor de lentes. Al ser biconvexa y simétrica, $R_1=+R$ y $R_2=-R$, de modo que el paréntesis vale $2\mathrm{/}R$:

$P=(n-1){\displaystyle \frac{2}{R}}\Rightarrow R={\displaystyle \frac{2(n_R-1)}{P}}={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{0,7}}{10}}=\mathrm{0,14}\text{ m}$

Ambas caras tienen, por tanto, un radio de curvatura de $14\text{ cm}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{D}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nde}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{colocar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pantalla}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{sustituimos}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bombilla}}\mathbf{\text{roja}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{violeta.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










La geometría de la lente no cambia, pero el índice de refracción del vidrio es mayor para la luz violeta, así que la lente resulta más convergente:

$P_V=(n_V-1){\displaystyle \frac{2}{R}}=\mathrm{0,8}\cdot {\displaystyle \frac{2}{\mathrm{0,14}}}=\mathrm{11,43}\text{ D}$





La bombilla ocupa la misma posición, de modo que aplicamos de nuevo la ecuación de las lentes:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}=P_V+{\displaystyle \frac{1}{s}}=\mathrm{11,43}-\mathrm{9,091}=\mathrm{2,34}{\text{m}}^{-1}$

$s^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,428}\text{ m}$

La pantalla debe acercarse hasta $\mathrm{42,8}\text{ cm}$ de la lente, frente a los $110\text{ cm}$ que hacían falta con la luz roja. Esta dependencia de la focal con el color es la aberración cromática, y es la razón de que las lentes simples no puedan enfocar a la vez todos los colores.