Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2022

P3. (3 puntos) Consideremos un haz de electrones y otro de positrones que se mueven en paralelo en línea recta con la misma velocidad de $200\text{ km/s}$ pero en sentidos opuestos. Ambos haces están separados una distancia de $8\text{ cm}$ y por cada uno de ellos pasan $5\cdot {10}^{15}$ partículas por segundo.

a) Calcular la longitud de onda de un electrón del haz. (1 punto)

b) Determinar la fuerza magnética que ejerce el haz de electrones sobre uno de los positrones del otro haz. (Hacer un dibujo esquemático representando dicha fuerza). (1 punto)

c) Si el electrón entra dentro de un condensador plano con placas separadas $2\text{ cm}$. El electrón entra perpendicularmente a sus placas positiva, determinar el campo eléctrico uniforme que hay aplicar entre las placas del condensador para que el electrón se frenara justo antes de llegar a la placa negativa. (1 punto)

Datos: $h=\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$, $m_e=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$, ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\text{ T}\cdot \text{m/A}$, carga del electrón$=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$, masa del electrón$=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{haz.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Aplicamos la hipótesis de De Broglie, que asocia a toda partícula material una onda de longitud inversamente proporcional a su cantidad de movimiento:

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{h}{m_{e}v}}$

Sustituimos, con $v=200\text{ km/s}=2\cdot {10}^5\text{ m/s}$:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\cdot 2\cdot {10}^5}}=\mathrm{3,63}\cdot {10}^{-9}\text{ m}$

La longitud de onda asociada es de $\mathrm{3,63}\text{ nm}$, del orden del nanómetro: mucho mayor que un átomo, lo que hace observable el comportamiento ondulatorio de estos electrones.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ejerce}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{haz}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{positrones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{otro}}\mathbf{\text{haz.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Cada haz, al transportar carga en movimiento, equivale a una corriente eléctrica. Como pasan $5\cdot {10}^{15}$ partículas por segundo y cada una lleva la carga elemental:

$I=Ne=5\cdot {10}^{15}\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}=8\cdot {10}^{-4}\text{ A}$

El haz de electrones se comporta como un conductor rectilíneo indefinido y crea en la posición del otro haz un campo magnético:

$B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi d}}={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot 8\cdot {10}^{-4}}{2\pi \cdot \mathrm{0,08}}}=2\cdot {10}^{-9}\text{ T}$










Sobre un positrón que se mueve perpendicularmente a ese campo la fuerza magnética tiene módulo:

$F=evB=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot 2\cdot {10}^5\cdot 2\cdot {10}^{-9}$

$F=\mathrm{6,4}\cdot {10}^{-23}\text{ N}$





Para el sentido conviene razonar en términos de corrientes. Los electrones se mueven en un sentido, luego su corriente convencional va en el contrario; los positrones se mueven en sentido opuesto a los electrones, así que su corriente convencional coincide con la del primer haz. Dos corrientes paralelas del mismo sentido se atraen, de modo que la fuerza sobre el positrón es perpendicular a los haces y está dirigida hacia el haz de electrones.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entra}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{condensador}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{placas}}\mathbf{\text{separadas}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mtext> cm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{perpendicularmente}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{placa}}\mathbf{\text{positiva,}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{uniforme}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aplicar}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{placas}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{frene}}\mathbf{\text{justo}}\mathbf{\text{antes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{llegar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{placa}}\mathbf{\text{negativa.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El electrón entra con energía cinética $\frac{1}{2}{m}_e{v}^2$ y debe detenerse tras recorrer $d^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,02}\text{ m}$. Por el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo de la fuerza eléctrica se lleva toda esa energía:

$eE{d}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}^2\Rightarrow E={\displaystyle \frac{m_e{v}^2}{2e{d}^{\mathrm{\prime }}}}$

Calculamos primero la energía cinética inicial:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\cdot (2\cdot {10}^5{)}^2=\mathrm{1,82}\cdot {10}^{-20}\text{ J}$

$E={\displaystyle \frac{\mathrm{1,82}\cdot {10}^{-20}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{0,02}}}=\mathrm{5,69}\text{ N/C}$

Basta un campo de $\mathrm{5,69}\text{ N/C}$, que corresponde a una diferencia de potencial de apenas $\mathrm{0,11}\text{ V}$ entre las placas: la energía cinética de un electrón a $200\text{ km/s}$ es minúscula en términos macroscópicos.