Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2024

C3. Cuatro conductores rectilíneos por los que pasa la misma intensidad de corriente eléctrica están situados en los vértices de un cuadrado. Dibujar cualitativamente el campo magnético creado en el centro del cuadrado por cada corriente y el total, en los dos supuestos, A y B, representados en la figura. (Copie el dibujo en el boletín de respuestas). (Cuando el campo sea nulo indíquelo expresamente con palabras). (1 punto)



En la figura: A y B son dos cuadrados con un conductor en cada vértice; el símbolo $\odot$ indica corriente saliente del plano del dibujo y el símbolo $\otimes$ indica corriente entrante al plano del dibujo.

$\mathbf{\text{C3.}}\mathbf{\text{Cuatro}}\mathbf{\text{conductores}}\mathbf{\text{rectil}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{neos}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corriente}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{situados}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cuadrado.}}\mathbf{\text{Dibujar}}\mathbf{\text{cualitativamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{creado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cuadrado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{corriente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{total,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{supuestos,}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{B.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El campo creado por un conductor rectilíneo indefinido a una distancia $d$ tiene módulo $B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi d}}$, es perpendicular al plano que contiene el hilo y el punto, y su sentido lo da la regla de la mano derecha: las líneas rodean al conductor en sentido antihorario si la corriente es saliente y horario si es entrante.

En ambos cuadrados el centro equidista de los cuatro vértices, a la semidiagonal $d=a\mathrm{/}\sqrt{2}$, y la intensidad es la misma en los cuatro hilos, de modo que los cuatro campos individuales tienen igual módulo:

$B_0={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi d}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}{\mu }_{0}I}{2\pi a}}$

y cada uno es perpendicular a la diagonal que une su vértice con el centro.










En el supuesto A las cuatro corrientes son salientes. Los cuatro vectores en el centro apuntan a ${45}^{\circ }$, ${135}^{\circ }$, ${225}^{\circ }$ y ${315}^{\circ }$, formando una estrella de cuatro flechas iguales. Al sumarlas por el principio de superposición se cancelan dos a dos las opuestas.





${\vec{B}}_{\text{total}}^A=\vec{0}$

En el supuesto A, por la simetría de las cuatro corrientes iguales y del mismo sentido, el campo magnético en el centro del cuadrado es nulo.










En el supuesto B invertimos el sentido de los dos hilos de la izquierda. Ahora los cuatro vectores tienen componente vertical negativa: las componentes horizontales se cancelan dos a dos y las verticales se suman.





Cada vector forma ${45}^{\circ }$ con la vertical, de modo que su proyección vale $B_0\cos {45}^{\circ }$. Sumando las cuatro:

$B_{\text{total}}^B=4B_0\cos {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}{\mu }_{0}I}{\pi d}}$

Sustituyendo $d=a\mathrm{/}\sqrt{2}$:

$B_{\text{total}}^B={\displaystyle \frac{2{\mu }_{0}I}{\pi a}}$

En el supuesto B el campo no es nulo: es vertical, está dirigido hacia abajo, paralelo a las dos columnas de conductores, y tiene por módulo ${\displaystyle \frac{2{\mu }_{0}I}{\pi a}}$.