Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2025

Bloque 2: Campo electromagnético. Opción 2-B.

En un laboratorio de Física se dispone de un solenoide de $1\text{m}$ de longitud que genera un campo magnético uniforme de $5\text{mT}$ en su interior. Un electrón se introduce por el centro del solenoide.

a) (1{,}25 puntos) Si el electrón se mueve a lo largo del eje longitudinal del solenoide, razonar si experimenta o no aceleración debido al campo magnético.

b) (1{,}25 puntos) Si ahora el electrón se introduce con una velocidad de $2\times {10}^6\text{m/s}$ en dirección perpendicular al campo magnético, calcular el radio de su trayectoria.
Datos: masa del electrón $=\mathrm{9,1}\times {10}^{-31}\text{kg}$, carga del electrón $=-\mathrm{1,6}\times {10}^{-19}\text{C}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueve}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{longitudinal}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{solenoide,}}\mathbf{\text{razonar}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{experimenta}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$










En el interior de un solenoide el campo magnético es uniforme y está dirigido a lo largo de su eje. La fuerza que ejerce sobre una carga en movimiento es la fuerza de Lorentz:

$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$

cuyo módulo es $\mathrm{\mid }\vec{F}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB\text{sen}\theta$.





Si el electrón viaja a lo largo del eje, su velocidad es paralela al campo y $\theta =0^{\circ }$, de modo que:

$\mathrm{\mid }\vec{F}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB\text{sen}{0}^{\circ }=0$

El producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo. Como no actúa ninguna otra fuerza, la segunda ley de Newton da una aceleración también nula:

$\vec{a}={\displaystyle \frac{\vec{F}}{m}}=\vec{0}$

El electrón no experimenta aceleración alguna: atraviesa el solenoide con movimiento rectilíneo y uniforme. Conviene recordar además que la fuerza magnética nunca puede cambiar el módulo de la velocidad, porque siempre es perpendicular a ella y no realiza trabajo; en este caso, al ser paralelas, es directamente nula.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{ahora}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{introduce}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">6</mn></msup><mtext> m/s</mtext></mrow>}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico,}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{trayectoria.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$










Ahora $\theta ={90}^{\circ }$ y la fuerza magnética es máxima, $\mathrm{\mid }\vec{F}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB$. Al ser siempre perpendicular a la velocidad, actúa como fuerza centrípeta y obliga al electrón a describir una circunferencia con movimiento uniforme.





Igualamos la fuerza magnética a la fuerza centrípeta y despejamos el radio:

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}\Rightarrow r={\displaystyle \frac{mv}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}$

Sustituimos con $B=5\text{ mT}=5\cdot {10}^{-3}\text{ T}$:

$r={\displaystyle \frac{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\cdot 2\cdot {10}^6}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot 5\cdot {10}^{-3}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,82}\cdot {10}^{-24}}{8\cdot {10}^{-22}}}$

$r=\mathrm{2,28}\cdot {10}^{-3}\text{ m}$

El electrón describe una circunferencia de $\mathrm{2,28}\text{ mm}$ de radio, que cabe holgadamente en el interior del solenoide de un metro de longitud.