Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Calcula las raíces quintas de ${\left({\displaystyle \frac{1+i}{1-i}}\right)}^{100}$ expresando el resultado en forma binómica.

Primero simplificamos la fracción:

${\displaystyle \frac{1+i}{1-i}}\cdot {\displaystyle \frac{1+i}{1+i}}={\displaystyle \frac{(1+i{)}^2}{1-i^2}}={\displaystyle \frac{1+2i+i^2}{2}}={\displaystyle \frac{2i}{2}}=i$

Entonces:

${\left({\displaystyle \frac{1+i}{1-i}}\right)}^{100}=i^{100}$

Como $i^4=1$:

$i^{100}=(i^4{)}^{25}=1$

Por tanto, tenemos que calcular las raíces quintas de $1$.

Expresamos $1$ en forma polar:

$1=1_{0^{\circ }}$

Usamos la fórmula de las raíces $n$-ésimas:

$z_k={\sqrt[n]{r}}_{{\displaystyle \frac{\alpha +{360}^{\circ }k}{n}}}$

Sustituimos $r=1$, $\alpha =0^{\circ }$ y $n=5$:

$z_k={\sqrt[5]{1}}_{{\displaystyle \frac{0^{\circ }+{360}^{\circ }k}{5}}}=1_{{72}^{\circ }k}$, con $k=0,1,2,3,4$

Ahora calculamos cada raíz:

$\{\begin{array}{l}k=0\to z_0=1_{0^{\circ }}=1\\ k=1\to z_1=1_{{72}^{\circ }}=\cos {72}^{\circ }+i\sin {72}^{\circ }\\ k=2\to z_2=1_{{144}^{\circ }}=\cos {144}^{\circ }+i\sin {144}^{\circ }\\ k=3\to z_3=1_{{216}^{\circ }}=\cos {216}^{\circ }+i\sin {216}^{\circ }\\ k=4\to z_4=1_{{288}^{\circ }}=\cos {288}^{\circ }+i\sin {288}^{\circ }\end{array}$

En forma binómica:

$\{\begin{array}{l}{z}_0=1\\ z_1\approx 0.31+0.95i\\ z_2\approx -0.81+0.59i\\ z_3\approx -0.81-0.59i\\ z_4\approx 0.31-0.95i\end{array}$

Por tanto, las raíces quintas son:

$1,0.31+0.95i,-0.81+0.59i,-0.81-0.59i,0.31-0.95i$