Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Una de las raíces octavas de un número complejo, $z$, es $-1+i$. Halla el valor de $z$.

Si $-1+i$ es una raíz octava de $z$, entonces $z=(-1+i{)}^8$

Expresamos $-1+i$ en forma polar.

Calculamos el módulo y su argumento:

i) Para el módulo: $\mathrm{\mid }a+bi\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}$

$\mathrm{\mid }-1+i\mathrm{\mid }=\sqrt{(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

ii) Para el argumento: $\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{b}{a}}$

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{1}{-1}}=-1$

Como el número complejo $-1+i$ está en el segundo cuadrante, su argumento es $\alpha ={135}^{\circ }$

Por tanto:

$-1+i={\sqrt{2}}_{{135}^{\circ }}$

Entonces:

$z=(-1+i{)}^8={\left({\sqrt{2}}_{{135}^{\circ }}\right)}^8$

Aplicamos la potencia en forma polar:

$z=(\sqrt{2}{)}_{8\cdot {135}^{\circ }}^8={16}_{{1080}^{\circ }}$

Como ${1080}^{\circ }=3\cdot {360}^{\circ }$, equivale a $0^{\circ }$:

$z={16}_{0^{\circ }}=16$