Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Resuelve las ecuaciones:

$a)z^2-4z+5=0b)z^3+8=0c)x^2-4ix-5=0d)z^3+64=0$

a) Resolvemos $z^2-4z+5=0$. Usamos la fórmula general de segundo grado: $z={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$. Sustituimos $a=1$, $b=-4$ y $c=5$:

$z={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16-20}}{2}}={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{-4}}{2}}={\displaystyle \frac{4\pm 2i}{2}}=2\pm i$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}{z}_1=2+i\\ z_2=2-i\end{array}$

b) Resolvemos $z^3+8=0$. Despejamos: $z^3=-8$, luego $z=\sqrt[3]{-8}$. Expresamos $-8$ en forma polar.

i) Para el módulo: $\mathrm{\mid }a+bi\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}$

$\mathrm{\mid }-8\mathrm{\mid }=\sqrt{(-8{)}^2+0^2}=\sqrt{64}=8$

ii) Para el argumento: $\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{b}{a}}$

Como $-8$ está sobre el eje real negativo, su argumento es $\alpha ={180}^{\circ }$. Por tanto: $-8=8_{{180}^{\circ }}$

Usamos la fórmula de las raíces $n$-ésimas: $z_k={\sqrt[n]{r}}_{{\displaystyle \frac{\alpha +{360}^{\circ }k}{n}}}$

Sustituimos $r=8$, $\alpha ={180}^{\circ }$ y $n=3$:

$z_k={\sqrt[3]{8}}_{{\displaystyle \frac{{180}^{\circ }+{360}^{\circ }k}{3}}}=2_{{60}^{\circ }+{120}^{\circ }k}$, con $k=0,1,2$

$\{\begin{array}{l}k=0\to z_0=2_{{60}^{\circ }+{120}^{\circ }\cdot 0}=2_{{60}^{\circ }}\\ k=1\to z_1=2_{{60}^{\circ }+{120}^{\circ }\cdot 1}=2_{{180}^{\circ }}\\ k=2\to z_2=2_{{60}^{\circ }+{120}^{\circ }\cdot 2}=2_{{300}^{\circ }}\end{array}\Rightarrow$ Por tanto, las tres soluciones son: $2_{{60}^{\circ }},2_{{180}^{\circ }},2_{{300}^{\circ }}$

c) Resolvemos $x^2-4ix-5=0$. Usamos la fórmula general de segundo grado: $x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$. Sustituimos $a=1$, $b=-4i$ y $c=-5$:

$x={\displaystyle \frac{4i\pm \sqrt{(-4i{)}^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{4i\pm \sqrt{16i^2+20}}{2}}={\displaystyle \frac{4i\pm \sqrt{-16+20}}{2}}={\displaystyle \frac{4i\pm \sqrt{4}}{2}}={\displaystyle \frac{4i\pm 2}{2}}=2i\pm 1$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}{x}_1=1+2i\\ x_2=-1+2i\end{array}$

d) Resolvemos $z^3+64=0$. Despejamos: $z^3=-64$, luego $z=\sqrt[3]{-64}$. Expresamos $-64$ en forma polar.

i) Para el módulo: $\mathrm{\mid }a+bi\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}$

$\mathrm{\mid }-64\mathrm{\mid }=\sqrt{(-64{)}^2+0^2}=\sqrt{4096}=64$

ii) Para el argumento: $\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{b}{a}}$

Como $-64$ está sobre el eje real negativo, su argumento es $\alpha ={180}^{\circ }$. Por tanto: $-64={64}_{{180}^{\circ }}$

Usamos la fórmula de las raíces $n$-ésimas: $z_k={\sqrt[n]{r}}_{{\displaystyle \frac{\alpha +{360}^{\circ }k}{n}}}$

Sustituimos $r=64$, $\alpha ={180}^{\circ }$ y $n=3$:

$z_k={\sqrt[3]{64}}_{{\displaystyle \frac{{180}^{\circ }+{360}^{\circ }k}{3}}}=4_{{60}^{\circ }+{120}^{\circ }k}$, con $k=0,1,2$

$\{\begin{array}{l}k=0\to z_0=4_{{60}^{\circ }+{120}^{\circ }\cdot 0}=4_{{60}^{\circ }}\\ k=1\to z_1=4_{{60}^{\circ }+{120}^{\circ }\cdot 1}=4_{{180}^{\circ }}\\ k=2\to z_2=4_{{60}^{\circ }+{120}^{\circ }\cdot 2}=4_{{300}^{\circ }}\end{array}\Rightarrow$ Por tanto, las tres soluciones son: $4_{{60}^{\circ }},4_{{180}^{\circ }},4_{{300}^{\circ }}$