Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Halla el módulo y el argumento de ${\left({\displaystyle \frac{1-i}{1+i}}\right)}^4$

Expresamos $1-i$ y $1+i$ en forma polar.

Para $1-i$:

i) Para el módulo: $\mathrm{\mid }a+bi\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}$

$\mathrm{\mid }1-i\mathrm{\mid }=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

ii) Para el argumento: $\tan (\beta )={\displaystyle \frac{b}{a}}$

$\tan (\beta )={\displaystyle \frac{-1}{1}}=-1$

Como el número complejo $1-i$ está en el cuarto cuadrante, su argumento es $\beta ={315}^{\circ }$

Por tanto: $1-i={\sqrt{2}}_{{315}^{\circ }}$

Para $1+i$:

i) Para el módulo: $\mathrm{\mid }a+bi\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}$

$\mathrm{\mid }1+i\mathrm{\mid }=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

ii) Para el argumento: $\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{b}{a}}$

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{1}{1}}=1$

Como el número complejo $1+i$ está en el primer cuadrante, su argumento es $\alpha ={45}^{\circ }$

Por tanto: $1+i={\sqrt{2}}_{{45}^{\circ }}$

Entonces:

${\left({\displaystyle \frac{1-i}{1+i}}\right)}^4={\left({\displaystyle \frac{{\sqrt{2}}_{{315}^{\circ }}}{{\sqrt{2}}_{{45}^{\circ }}}}\right)}^4={\left(1_{{315}^{\circ }-{45}^{\circ }}\right)}^4={\left(1_{{270}^{\circ }}\right)}^4$

Aplicamos la potencia en forma polar:

${\left(1_{{270}^{\circ }}\right)}^4=1_{4\cdot {270}^{\circ }}^4=1_{{1080}^{\circ }}$

Como ${1080}^{\circ }=3\cdot {360}^{\circ }$, equivale a $0^{\circ }$:

$1_{{1080}^{\circ }}=1_{0^{\circ }}=1$

Por tanto, el módulo es $1$ y el argumento es $0^{\circ }$.