Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

a) Calcula el producto del número complejo $1+3i$ por su conjugado y comprueba que su producto es igual al cuadrado del módulo de dicho número

b) Determina un número complejo cuyo cuadrado sea igual a su conjugado.

a) Calculamos el producto de $1+3i$ por su conjugado.

El conjugado de $1+3i$ es $1-3i$.

$(1+3i)(1-3i)=1-3i+3i-9i^2=1-9i^2$

Como $i^2=-1$:

$1-9i^2=1-9(-1)=1+9=10$

Calculamos ahora el módulo:

$\mathrm{\mid }a+bi\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}$

$\mathrm{\mid }1+3i\mathrm{\mid }=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$

Por tanto:

$\mathrm{\mid }1+3i{\mathrm{\mid }}^2=(\sqrt{10}{)}^2=10$

Luego:

$(1+3i)(1-3i)=\mathrm{\mid }1+3i{\mathrm{\mid }}^2=10$


b) Buscamos un número complejo cuyo cuadrado sea igual a su conjugado.

Sea $z=a+bi$.

Entonces:

$z^2=\bar{z}$

$(a+bi{)}^2=a-bi$

Desarrollamos:

$a^2+2abi+b^2{i}^2=a-bi$

Como $i^2=-1$:

$a^2-b^2+2abi=a-bi$

Igualamos parte real y parte imaginaria:

$\{\begin{array}{l}{a}^2-b^2=a\\ 2ab=-b\end{array}$

De la segunda ecuación:

$2ab+b=0\Rightarrow b(2a+1)=0$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}b=0\\ 2a+1=0\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

Primer caso: $b=0$

$a^2-b^2=a\Rightarrow a^2=a\Rightarrow a^2-a=0\Rightarrow a(a-1)=0$

$\{\begin{array}{l}a=0\Rightarrow z=0\\ a=1\Rightarrow z=1\end{array}$

Segundo caso: $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$a^2-b^2=a$

${(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2-b^2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\displaystyle \frac{1}{4}}-b^2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow -b^2=-{\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow b^2={\displaystyle \frac{3}{4}}$

$b=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}z=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i\\ z=-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i\end{array}$