Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

El producto de dos números complejos es -27. Calcula sus módulos y sus argumentos sabiendo que uno de ellos es el cuadrado del otro.

Problema 8

El producto de dos números complejos es $-27$. Calcula sus módulos y sus argumentos sabiendo que uno de ellos es el cuadrado del otro.

Sean los dos números complejos:

$r_{\alpha }\text{y}{s}_{\beta }$

Según el enunciado:

$r_{\alpha }\cdot s_{\beta }=-27$

Como $-27={27}_{{180}^{\circ }}$, tenemos:

$r_{\alpha }\cdot s_{\beta }={27}_{{180}^{\circ }}$

Además, uno de ellos es el cuadrado del otro:

$r_{\alpha }=(s_{\beta }{)}^2$

Usamos las fórmulas:

$r_{\alpha }\cdot s_{\beta }=(r\cdot s{)}_{\alpha +\beta }$

$(s_{\beta }{)}^2=s_{2\beta }^2$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}r\cdot s=27\\ \alpha +\beta ={180}^{\circ }\\ r=s^2\\ \alpha =2\beta \end{array}$

Calculamos los módulos:

$r=s^2$

$r\cdot s=27\Rightarrow s^2\cdot s=27\Rightarrow s^3=27\Rightarrow s=3$

Entonces:

$r=s^2=3^2=9$

Calculamos los argumentos:

$\alpha =2\beta$

$\alpha +\beta ={180}^{\circ }\Rightarrow 2\beta +\beta ={180}^{\circ }\Rightarrow 3\beta ={180}^{\circ }\Rightarrow \beta ={60}^{\circ }$

Entonces:

$\alpha =2\beta =2\cdot {60}^{\circ }={120}^{\circ }$

Por tanto, los números complejos son:

$\{\begin{array}{l}{r}_{\alpha }=9_{{120}^{\circ }}\\ s_{\beta }=3_{{60}^{\circ }}\end{array}$