Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

a) Una de las raíces cúbicas de un número es $1+\sqrt{3}i$. Halla las otras dos raíces y ése número complejo.

b) Opera en la expresión $(9+3i{)}^2(\frac{1}{3}-2i)$

a) Una de las raíces cúbicas es $1+\sqrt{3}i$.

Expresamos $1+\sqrt{3}i$ en forma polar:

$\mathrm{\mid }1+\sqrt{3}i\mathrm{\mid }=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=2$

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{1}}=\sqrt{3}\Rightarrow \alpha ={60}^{\circ }$

Por tanto:

$1+\sqrt{3}i=2_{{60}^{\circ }}$

Como es una raíz cúbica del número complejo buscado:

$z=(1+\sqrt{3}i{)}^3=(2_{{60}^{\circ }}{)}^3=8_{{180}^{\circ }}=-8$

Calculamos las raíces cúbicas de $-8$:

$-8=8_{{180}^{\circ }}$

Usamos la fórmula:

$w_k={\sqrt[3]{8}}_{{\displaystyle \frac{{180}^{\circ }+{360}^{\circ }k}{3}}}$, con $k=0,1,2$

$\{\begin{array}{l}k=0\to w_1=2_{{60}^{\circ }}=2(\cos {60}^{\circ }+i\sin {60}^{\circ })=1+\sqrt{3}i\\ k=1\to w_2=2_{{180}^{\circ }}=2(\cos {180}^{\circ }+i\sin {180}^{\circ })=-2\\ k=2\to w_3=2_{{300}^{\circ }}=2(\cos {300}^{\circ }+i\sin {300}^{\circ })=1-\sqrt{3}i\end{array}$

Por tanto, las otras dos raíces son:

$-2\text{y}1-\sqrt{3}i$

Y el número complejo es:

$z=-8$


b) Operamos:

$(9+3i{)}^2({\displaystyle \frac{1}{3}}-2i)$

Primero:

$(9+3i{)}^2=81+54i+9i^2=81+54i-9=72+54i$

Entonces:

$(72+54i)({\displaystyle \frac{1}{3}}-2i)=24-144i+18i-108i^2$

Como $i^2=-1$:

$24-144i+18i-108i^2=24-126i+108=132-126i$

Por tanto:

$(9+3i{)}^2({\displaystyle \frac{1}{3}}-2i)=132-126i$

Calculamos sus raíces cúbicas.

Pasamos $132-126i$ a forma polar.

Módulo:

$\mathrm{\mid }132-126i\mathrm{\mid }=\sqrt{{132}^2+(-126{)}^2}=\sqrt{17424+15876}=\sqrt{33300}\approx 182.48$

Argumento:

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{-126}{132}}\approx -0.9545$

Como está en el cuarto cuadrante:

$\alpha \approx {316}^{\circ }{19}^{\mathrm{\prime }}{48}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$

Por tanto:

$132-126i\approx {182.48}_{{316}^{\circ }{19}^{\mathrm{\prime }}{48}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}$

Usamos la fórmula:

$w_k={\sqrt[3]{182.48}}_{{\displaystyle \frac{{316}^{\circ }{19}^{\mathrm{\prime }}{48}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+{360}^{\circ }k}{3}}}$, con $k=0,1,2$

Como:

$\sqrt[3]{182.48}\approx 5.67$

Entonces:

$\{\begin{array}{l}k=0\to w_1\approx {5.67}_{{105}^{\circ }{26}^{\mathrm{\prime }}{36}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}\\ k=1\to w_2\approx {5.67}_{{225}^{\circ }{26}^{\mathrm{\prime }}{36}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}\\ k=2\to w_3\approx {5.67}_{{345}^{\circ }{26}^{\mathrm{\prime }}{36}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}\end{array}$