Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Calcula las raíces quintas de la unidad. Si $z$ y $w$ son dos de estas raíces, comprueba si también son raíces quintas

Calculamos las raíces quintas de la unidad:

$1=1_{0^{\circ }}$

Usamos la fórmula de las raíces $n$-ésimas:

$w_k={\sqrt[n]{r}}_{{\displaystyle \frac{\alpha +{360}^{\circ }k}{n}}}$

Sustituimos $r=1$, $\alpha =0^{\circ }$ y $n=5$:

$w_k={\sqrt[5]{1}}_{{\displaystyle \frac{0^{\circ }+{360}^{\circ }k}{5}}}=1_{{72}^{\circ }k}$, con $k=0,1,2,3,4$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}k=0\to w_1=1_{0^{\circ }}\\ k=1\to w_2=1_{{72}^{\circ }}\\ k=2\to w_3=1_{{144}^{\circ }}\\ k=3\to w_4=1_{{216}^{\circ }}\\ k=4\to w_5=1_{{288}^{\circ }}\end{array}$

Ahora comprobamos si $z\cdot w$, ${\displaystyle \frac{z}{w}}$, $z^2$ y $w^2$ también son raíces quintas.

Como todas las raíces quintas de la unidad son de la forma:

$1_{{72}^{\circ }k}$, con $k\in \mathbb{Z}$

Tomamos:

$z=1_{{72}^{\circ }k}$ y $w=1_{{72}^{\circ }h}$, con $k,h\in \mathbb{Z}$

Entonces:

$z\cdot w=1_{{72}^{\circ }k}\cdot 1_{{72}^{\circ }h}=1_{{72}^{\circ }(k+h)}$

${\displaystyle \frac{z}{w}}={\displaystyle \frac{1_{{72}^{\circ }k}}{1_{{72}^{\circ }h}}}=1_{{72}^{\circ }(k-h)}$

$z^2={\left(1_{{72}^{\circ }k}\right)}^2=1_{{144}^{\circ }k}=1_{{72}^{\circ }(2k)}$

$w^2={\left(1_{{72}^{\circ }h}\right)}^2=1_{{144}^{\circ }h}=1_{{72}^{\circ }(2h)}$

Como todos siguen siendo de la forma $1_{{72}^{\circ }m}$, con $m\in \mathbb{Z}$, también son raíces quintas de la unidad.

Por tanto:

$z\cdot w,{\displaystyle \frac{z}{w}},z^2,w^2$ también son raíces quintas de la unidad.