Matemáticas I · Números complejos

Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Calcula −1+i1+3i3.

Solución

Expresamos numerador y denominador en forma polar.

Para −1+i:

∣−1+i∣=(−1)2+12=2

tan⁡(α)=1−1=−1

Como está en el segundo cuadrante:

α=135∘

Por tanto:

−1+i=2135∘

Para 1+3i:

∣1+3i∣=12+(3)2=4=2

tan⁡(α)=31=3

Como está en el primer cuadrante:

α=60∘

Por tanto:

1+3i=260∘

Entonces:

−1+i1+3i=2135∘260∘=(22)75∘

Calculamos las raíces cúbicas:

wk=22375∘+360∘k3, con k=0,1,2

Como:

223≈0.89

Entonces:

{k=0→w1=0.8925∘k=1→w2=0.89145∘k=2→w3=0.89265∘

En forma binómica:

w1=0.89(cos⁡25∘+isin⁡25∘)≈0.80+0.37i

w2=0.89(cos⁡145∘+isin⁡145∘)≈−0.72+0.51i

w3=0.89(cos⁡265∘+isin⁡265∘)≈−0.08−0.88i

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