Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Calcula el valor de ${\displaystyle \frac{i^7-i^{-7}}{2i}}$ y de ${\displaystyle \frac{5i^3+3i^{-5}}{i^6}}$ y representa los afijos de sus raíces cúbicas.

${\displaystyle \frac{i^7-i^{-7}}{2i}}$

Calculamos las potencias de $i$:

$i^7=i^4\cdot i^3=1\cdot i^3=-i$

$i^{-7}={\displaystyle \frac{1}{i^7}}={\displaystyle \frac{1}{-i}}=i$

Sustituimos:

${\displaystyle \frac{i^7-i^{-7}}{2i}}={\displaystyle \frac{-i-i}{2i}}={\displaystyle \frac{-2i}{2i}}=-1$

Ahora calculamos las raíces cúbicas de $-1$.

Expresamos $-1$ en forma polar:

$-1=1_{{180}^{\circ }}$

Usamos la fórmula de las raíces $n$-ésimas:

$z_k={\sqrt[n]{r}}_{{\displaystyle \frac{\alpha +{360}^{\circ }k}{n}}}$

Sustituimos $r=1$, $\alpha ={180}^{\circ }$ y $n=3$:

$z_k={\sqrt[3]{1}}_{{\displaystyle \frac{{180}^{\circ }+{360}^{\circ }k}{3}}}=1_{{\displaystyle \frac{{180}^{\circ }+{360}^{\circ }k}{3}}}$, con $k=0,1,2$

La razón de la progresión es:

${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{3}}={120}^{\circ }$

Por tanto:










$\{\begin{array}{l}k=0\to z_1=1_{{60}^{\circ }}\\ k=1\to z_2=1_{{180}^{\circ }}\\ k=2\to z_3=1_{{300}^{\circ }}\end{array}$





Segunda expresión:

${\displaystyle \frac{5i^3+3i^{-5}}{i^6}}$

Calculamos las potencias de $i$:

$i^3=-i$

$i^{-5}={\displaystyle \frac{1}{i^5}}={\displaystyle \frac{1}{i}}=-i$

$i^6=i^4\cdot i^2=1\cdot (-1)=-1$

Sustituimos:

${\displaystyle \frac{5i^3+3i^{-5}}{i^6}}={\displaystyle \frac{5(-i)+3(-i)}{-1}}={\displaystyle \frac{-5i-3i}{-1}}={\displaystyle \frac{-8i}{-1}}=8i$

Ahora calculamos las raíces cúbicas de $8i$.

Expresamos $8i$ en forma polar:

$8i=8_{{90}^{\circ }}$

Usamos la fórmula de las raíces $n$-ésimas:

$z_k={\sqrt[n]{r}}_{{\displaystyle \frac{\alpha +{360}^{\circ }k}{n}}}$

Sustituimos $r=8$, $\alpha ={90}^{\circ }$ y $n=3$:

$z_k={\sqrt[3]{8}}_{{\displaystyle \frac{{90}^{\circ }+{360}^{\circ }k}{3}}}=2_{{\displaystyle \frac{{90}^{\circ }+{360}^{\circ }k}{3}}}$, con $k=0,1,2$

La razón de la progresión es:

${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{3}}={120}^{\circ }$

Por tanto:










$\{\begin{array}{l}k=0\to z_1=2_{{30}^{\circ }}\\ k=1\to z_2=2_{{150}^{\circ }}\\ k=2\to z_3=2_{{270}^{\circ }}\end{array}$