Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Halla $\sqrt[5]{-1}$ e interpreta gráficamente las soluciones.

Expresamos $-1$ en forma polar.

i) Para el módulo: $\mathrm{\mid }a+bi\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}$

$\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }=\sqrt{(-1{)}^2+0^2}=\sqrt{1}=1$

ii) Para el argumento: $\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{b}{a}}$

Como el número complejo $-1$ está sobre el eje real negativo, su argumento es $\alpha ={180}^{\circ }$

Por tanto:

$-1=1_{{180}^{\circ }}$

Calculamos las raíces quintas.










Usamos la fórmula de las raíces $n$-ésimas:

$z_k={\sqrt[n]{r}}_{{\displaystyle \frac{\alpha +{360}^{\circ }k}{n}}}$

Sustituimos los valores $r=1$, $\alpha ={180}^{\circ }$ y $n=5$:

$z_k={\sqrt[5]{1}}_{{\displaystyle \frac{{180}^{\circ }+{360}^{\circ }k}{5}}}=1_{{36}^{\circ }+{72}^{\circ }k}$, con $k=0,1,2,3,4$

Ahora calculamos cada raíz:

$k=0\to z_0=1_{{36}^{\circ }+{72}^{\circ }\cdot 0}=1_{{36}^{\circ }}$

$k=1\to z_1=1_{{36}^{\circ }+{72}^{\circ }\cdot 1}=1_{{108}^{\circ }}$

$k=2\to z_2=1_{{36}^{\circ }+{72}^{\circ }\cdot 2}=1_{{180}^{\circ }}$

$k=3\to z_3=1_{{36}^{\circ }+{72}^{\circ }\cdot 3}=1_{{252}^{\circ }}$

$k=4\to z_4=1_{{36}^{\circ }+{72}^{\circ }\cdot 4}=1_{{324}^{\circ }}$

Por tanto, las cinco raíces son:

$1_{{36}^{\circ }},1_{{108}^{\circ }},1_{{180}^{\circ }},1_{{252}^{\circ }},1_{{324}^{\circ }}$

Interpretación gráfica:

Los afijos de las cinco raíces quintas tienen el mismo módulo, $1$, y sus argumentos están separados ${72}^{\circ }$ entre sí, con lo que, ocupan los vértices de un pentágono regular centrado en el origen.