Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Calcula: $\sqrt[4]{-81}$

Expresamos $-81$ en forma polar.

i) Para el módulo: $\mathrm{\mid }a+bi\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}$

$\mathrm{\mid }-81\mathrm{\mid }=\sqrt{(-81{)}^2+0^2}=\sqrt{6561}=81$

ii) Para el argumento: $\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{b}{a}}$

Como el número complejo $-81$ está sobre el eje real negativo, su argumento es $\alpha ={180}^{\circ }$

Por tanto:

$-81={81}_{{180}^{\circ }}$

Calculamos las raíces cuartas.

Usamos la fórmula de las raíces $n$-ésimas:

$z_k={\sqrt[n]{r}}_{{\displaystyle \frac{\alpha +{360}^{\circ }k}{n}}}$

Sustituimos los valores $r=81$, $\alpha ={180}^{\circ }$ y $n=4$:

$z_k={\sqrt[4]{81}}_{{\displaystyle \frac{{180}^{\circ }+{360}^{\circ }k}{4}}}=3_{{45}^{\circ }+{90}^{\circ }k}$, con $k=0,1,2,3$

Ahora calculamos cada raíz:

$k=0\to z_0=3_{{45}^{\circ }+{90}^{\circ }\cdot 0}=3_{{45}^{\circ }}$

$k=1\to z_1=3_{{45}^{\circ }+{90}^{\circ }\cdot 1}=3_{{135}^{\circ }}$

$k=2\to z_2=3_{{45}^{\circ }+{90}^{\circ }\cdot 2}=3_{{225}^{\circ }}$

$k=3\to z_3=3_{{45}^{\circ }+{90}^{\circ }\cdot 3}=3_{{315}^{\circ }}$

Por tanto, las cuatro raíces son:

$3_{{45}^{\circ }},3_{{135}^{\circ }},3_{{225}^{\circ }},3_{{315}^{\circ }}$