Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Dado el número complejo $z=\sqrt{3}-i$:

a) Represéntalo gráficamente y exprésalo en forma polar.
b) Obtén su opuesto y su conjugado.

a) Expresamos $z=\sqrt{3}-i$ en forma polar.

i) Para el módulo: $\mathrm{\mid }a+bi\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}$

$\mathrm{\mid }\sqrt{3}-i\mathrm{\mid }=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$

ii) Para el argumento: $\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{b}{a}}$

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{3}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Como el número complejo $\sqrt{3}-i$ está en el cuarto cuadrante, su argumento es $\alpha ={330}^{\circ }$

Por tanto:

$z=2_{{330}^{\circ }}$

El afijo de $z=\sqrt{3}-i$ es el punto $(\sqrt{3},-1)$ del plano complejo.





b) Calculamos el opuesto y el conjugado.

Para el opuesto: $-z=-(a+bi)=-a-bi$

$-z=-(\sqrt{3}-i)=-\sqrt{3}+i$

Para el conjugado: $\bar{z}=\overline{a+bi}=a-bi$

$\bar{z}=\overline{\sqrt{3}-i}=\sqrt{3}+i$