Matemáticas I · Números complejos

Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Dados los números complejos 2−ai y 3−bi, halla los valores que deben tener a y b para que el producto de aquellos sea igual a 8+4i.

Solución

Hacemos el producto:

(2−ai)(3−bi)=6−2bi−3ai+abi2

Como i2=−1:

6−2bi−3ai+abi2=6−2bi−3ai−ab=(6−ab)−(2b+3a)i

Igualamos con 8+4i:

(6−ab)−(2b+3a)i=8+4i

Por tanto: {6−ab=8−(2b+3a)=4

De la segunda ecuación:

−(2b+3a)=4⇒−2b−3a=4⇒−3a=2b+4⇒a=−2b−43

Sustituimos en la primera ecuación:

6−ab=8⇒6−b(−2b−43)=8⇒6+2b2+4b3=8

Multiplicamos por 3:

18+2b2+4b=24⇒2b2+4b−6=0

Resolvemos:

2b2+4b−6=0⇒b2+2b−3=0⇒(b−1)(b+3)=0

Consecuentemente: {b=1b=−3

Calculamos a en cada caso: {b=1→a=−2⋅1−43=−63=−2b=−3→a=−2⋅(−3)−43=6−43=23

Los números complejos pedidos son:

{2+2iy3−io2−23iy3+3i

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