Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Dado el número complejo $z=\sqrt{3}+i$, escribe su opuesto, su inverso, su conjugado y el inverso de su conjugado en forma binómica y en forma polar.

Forma binómica:

Opuesto:

$-z=-(\sqrt{3}+i)=-\sqrt{3}-i$

Conjugado:

$\bar{z}=\sqrt{3}-i$

Inverso:

${\displaystyle \frac{1}{z}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+i}}$

Multiplicamos por el conjugado:

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+i}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}-i}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-i}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-i}{(\sqrt{3}{)}^2-i^2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-i}{3+1}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-i}{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}i$

Inverso del conjugado:

${\displaystyle \frac{1}{\bar{z}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-i}}$

Multiplicamos por el conjugado:

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-i}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}+i}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+i}{(\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}+i)}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+i}{(\sqrt{3}{)}^2-i^2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+i}{3+1}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+i}{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}i$

Forma polar:

Expresamos $z=\sqrt{3}+i$ en forma polar.

i) Para el módulo: $\mathrm{\mid }a+bi\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}$

$\mathrm{\mid }\sqrt{3}+i\mathrm{\mid }=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$

ii) Para el argumento: $\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{b}{a}}$

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Como $\sqrt{3}+i$ está en el primer cuadrante, su argumento es $\alpha ={30}^{\circ }$

Por tanto:

$z=\sqrt{3}+i=2_{{30}^{\circ }}$

Opuesto:

$-z=2_{{30}^{\circ }+{180}^{\circ }}=2_{{210}^{\circ }}$

Conjugado:

$\bar{z}=2_{{360}^{\circ }-{30}^{\circ }}=2_{{330}^{\circ }}$

Inverso:

${\displaystyle \frac{1}{z}}={\displaystyle \frac{1_{0^{\circ }}}{2_{{30}^{\circ }}}}={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}_{0^{\circ }-{30}^{\circ }}={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}_{-{30}^{\circ }}={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}_{{330}^{\circ }}$

Inverso del conjugado:

${\displaystyle \frac{1}{\bar{z}}}={\displaystyle \frac{1_{0^{\circ }}}{2_{{330}^{\circ }}}}={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}_{0^{\circ }-{330}^{\circ }}={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}_{-{330}^{\circ }}={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}_{{30}^{\circ }}$