Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Como debe de ser un número complejo para que su cuadro sea:

a) Imaginario puro.
b) Un número real positivo.
c) Un número real negativo.

Sea el número complejo $z=a+bi$.

Entonces:

$z^2=(a+bi{)}^2=a^2+2abi+b^2{i}^2$

Como $i^2=-1$:

$z^2=a^2-b^2+2abi$

a) Para que $z^2$ sea imaginario puro, la parte real debe ser nula:

$a^2-b^2=0$

$(a+b)(a-b)=0$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}a+b=0\Rightarrow a=-b\\ a-b=0\Rightarrow a=b\end{array}$

Luego, el número complejo debe cumplir:

$a=b$ o $a=-b$.


b) Para que $z^2$ sea un número real positivo, la parte imaginaria debe ser nula y la parte real positiva:

$\{\begin{array}{l}2ab=0\\ a^2-b^2>0\end{array}$

De $2ab=0$:

$\{\begin{array}{l}a=0\\ b=0\end{array}$

Si $a=0$, entonces $a^2-b^2=-b^2<0$, no vale.

Si $b=0$, entonces $a^2-b^2=a^2>0$, sí vale si $a\mathrm{\ne }0$.

Por tanto, el número complejo debe ser real no nulo:

$z=a,a\mathrm{\ne }0$


c) Para que $z^2$ sea un número real negativo, la parte imaginaria debe ser nula y la parte real negativa:

$\{\begin{array}{l}2ab=0\\ a^2-b^2<0\end{array}$

De $2ab=0$:

$\{\begin{array}{l}a=0\\ b=0\end{array}$

Si $b=0$, entonces $a^2-b^2=a^2>0$, no vale.

Si $a=0$, entonces $a^2-b^2=-b^2<0$, sí vale si $b\mathrm{\ne }0$.

Por tanto, el número complejo debe ser imaginario puro no nulo:

$z=bi,b\mathrm{\ne }0$