Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Busca una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean ${\sqrt{2}}_{45\text{º}}$ y ${\sqrt{2}}_{315\text{º}}$.

Buscamos una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean ${\sqrt{2}}_{{45}^{\circ }}$ y ${\sqrt{2}}_{{315}^{\circ }}$.

Pasamos las raíces a forma binómica:

${\sqrt{2}}_{{45}^{\circ }}=\sqrt{2}(\cos {45}^{\circ }+i\sin {45}^{\circ })=\sqrt{2}({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})=1+i$

${\sqrt{2}}_{{315}^{\circ }}=\sqrt{2}(\cos {315}^{\circ }+i\sin {315}^{\circ })=\sqrt{2}({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-i{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})=1-i$

Por tanto, las raíces son:

$\{\begin{array}{l}{x}_1=1+i\\ x_2=1-i\end{array}$

Una ecuación de segundo grado con raíces $x_1$ y $x_2$ es:

$(x-x_1)(x-x_2)=0$

Sustituimos:

$[x-(1+i)][x-(1-i)]=0$

$[(x-1)-i][(x-1)+i]=0$

Usamos diferencia de cuadrados:

$[(x-1)-i][(x-1)+i]=(x-1{)}^2-i^2$

Como $i^2=-1$:

$(x-1{)}^2-i^2=(x-1{)}^2+1$

Desarrollamos:

$(x-1{)}^2+1=x^2-2x+1+1=x^2-2x+2$