Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Halla todas las soluciones reales e imaginarias de la ecuación:

$z^6-28z^3+27=0$

Hacemos el cambio:

$t=z^3$

Entonces:

$t^2-28t+27=0$

Factorizamos:

$t^2-28t+27=0\Rightarrow (t-1)(t-27)=0$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}t=1\\ t=27\end{array}$

Como $t=z^3$, tenemos dos casos:

$\{\begin{array}{l}{z}^3=1\\ z^3=27\end{array}$


Primer caso: $z^3=1$

$1=1_{0^{\circ }}$

Usamos la fórmula de las raíces cúbicas:

$z_k={\sqrt[3]{1}}_{{\displaystyle \frac{0^{\circ }+{360}^{\circ }k}{3}}}=1_{{120}^{\circ }k}$, con $k=0,1,2$

$\{\begin{array}{l}k=0\to z_1=1_{0^{\circ }}=1\\ k=1\to z_2=1_{{120}^{\circ }}=\cos {120}^{\circ }+i\sin {120}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i\\ k=2\to z_3=1_{{240}^{\circ }}=\cos {240}^{\circ }+i\sin {240}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i\end{array}$


Segundo caso: $z^3=27$

$27={27}_{0^{\circ }}$

Usamos la fórmula de las raíces cúbicas:

$z_k={\sqrt[3]{27}}_{{\displaystyle \frac{0^{\circ }+{360}^{\circ }k}{3}}}=3_{{120}^{\circ }k}$, con $k=0,1,2$

$\{\begin{array}{l}k=0\to z_4=3_{0^{\circ }}=3\\ k=1\to z_5=3_{{120}^{\circ }}=3(\cos {120}^{\circ }+i\sin {120}^{\circ })=-{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}i\\ k=2\to z_6=3_{{240}^{\circ }}=3(\cos {240}^{\circ }+i\sin {240}^{\circ })=-{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}i\end{array}$

Por tanto, las seis soluciones son:

$\{\begin{array}{l}{z}_1=1\\ z_2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i\\ z_3=-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i\\ z_4=3\\ z_5=-{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}i\\ z_6=-{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}i\end{array}$