Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

El producto de dos números complejos es $2{\sqrt{2}}_{75\text{º}}$. Sabiendo que uno de los números es $z=1+i$, halla el otro número.

Llamamos $w$ al número buscado. Entonces:

$z\cdot w=2{\sqrt{2}}_{{75}^{\circ }}$

Como $z=1+i$, necesitamos expresar $z$ en forma polar.

Calculamos el módulo y el argumento de $z=1+i$:

i) Para el módulo: $\mathrm{\mid }a+bi\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}$

$\mathrm{\mid }1+i\mathrm{\mid }=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

ii) Para el argumento: $\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{b}{a}}$

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{1}{1}}=1$

Como el número complejo $1+i$ está en el primer cuadrante, su argumento es $\alpha ={45}^{\circ }$

Por tanto:

$z=1+i={\sqrt{2}}_{{45}^{\circ }}$

Ahora despejamos $w$:

$w={\displaystyle \frac{2{\sqrt{2}}_{{75}^{\circ }}}{{\sqrt{2}}_{{45}^{\circ }}}}$

Para dividir números complejos en forma polar, dividimos los módulos y restamos los argumentos:

$w={{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}}_{{75}^{\circ }-{45}^{\circ }}=2_{{30}^{\circ }}$

Pasamos $w=2_{{30}^{\circ }}$ a forma binómica:

$w=r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$

$w=2(\cos {30}^{\circ }+i\sin {30}^{\circ })=2({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+i{\displaystyle \frac{1}{2}})=\sqrt{3}+i$