Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Halla un número complejo, $z$, sabiendo que una de sus raíces quintas es $2-2i$

Si $2-2i$ es una raíz quinta de $z$, entonces $z=(2-2i{)}^5$. Expresamos $2-2i$ en forma polar.

Calculamos el módulo y su argumento:

i) Para el módulo: $\mathrm{\mid }a+bi\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}$

$\mathrm{\mid }2-2i\mathrm{\mid }=\sqrt{2^2+(-2{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}$

ii) Para el argumento: $\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{b}{a}}$

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{-2}{2}}=-1$

Como el número complejo $2-2i$ está en el cuarto cuadrante, su argumento es $\alpha ={315}^{\circ }$

Por tanto:

$2-2i={\sqrt{8}}_{{315}^{\circ }}$

Entonces:

$z=(2-2i{)}^5={\left({\sqrt{8}}_{{315}^{\circ }}\right)}^5$

Aplicamos la potencia en forma polar:

$z=(\sqrt{8}{)}_{5\cdot {315}^{\circ }}^5={\left(\sqrt{2^3}\right)}_{{1575}^{\circ }}^5={\sqrt{2^{15}}}_{{1575}^{\circ }}=2^7{\sqrt{2}}_{{1575}^{\circ }}$

Como ${1575}^{\circ }=4\cdot {360}^{\circ }+{135}^{\circ }$, equivale a ${135}^{\circ }$:

$z=128{\sqrt{2}}_{{135}^{\circ }}$

Pasamos a forma binómica:

$z=r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$

$z=128\sqrt{2}(\cos {135}^{\circ }+i\sin {135}^{\circ })=128\sqrt{2}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})=-128+128i$