Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Calcula y representa gráficamente la solución que obtengas:

$a){\displaystyle \frac{(4-2i)i^5}{1+i}}b){\displaystyle \frac{5i^6(-2+i)}{-1+2i}}c){\displaystyle \frac{(5-i)i^{30}}{-1+i}}d){\displaystyle \frac{5i^9(2-3i)}{2-i}}$

a) Calculamos ${\displaystyle \frac{(4-2i)i^5}{1+i}}$

Como $i^5=i$, entonces:

${\displaystyle \frac{(4-2i)i^5}{1+i}}={\displaystyle \frac{(4-2i)i}{1+i}}={\displaystyle \frac{4i-2i^2}{1+i}}={\displaystyle \frac{4i+2}{1+i}}={\displaystyle \frac{2+4i}{1+i}}$

Multiplicamos por el conjugado del denominador:

${\displaystyle \frac{2+4i}{1+i}}\cdot {\displaystyle \frac{1-i}{1-i}}={\displaystyle \frac{(2+4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}}={\displaystyle \frac{2-2i+4i-4i^2}{1-i^2}}={\displaystyle \frac{2+2i+4}{1+1}}={\displaystyle \frac{6+2i}{2}}=3+i$














b) Calculamos ${\displaystyle \frac{5i^6(-2+i)}{-1+2i}}$

Como $i^6=i^4\cdot i^2=1\cdot (-1)=-1$, entonces:

${\displaystyle \frac{5i^6(-2+i)}{-1+2i}}={\displaystyle \frac{5(-1)(-2+i)}{-1+2i}}={\displaystyle \frac{-5(-2+i)}{-1+2i}}$

Multiplicamos por el conjugado del denominador:

${\displaystyle \frac{-5(-2+i)}{-1+2i}}\cdot {\displaystyle \frac{-1-2i}{-1-2i}}={\displaystyle \frac{-5(-2+i)(-1-2i)}{(-1+2i)(-1-2i)}}$

Desarrollamos:

${\displaystyle \frac{-5(-2+i)(-1-2i)}{(-1+2i)(-1-2i)}}={\displaystyle \frac{-5(2+4i-i-2i^2)}{1-4i^2}}={\displaystyle \frac{-5(4+3i)}{1+4}}={\displaystyle \frac{-20-15i}{5}}=-4-3i$














c) Calculamos ${\displaystyle \frac{i^{30}(5-i)}{-1+i}}$

Como $i^{30}=i^{28}\cdot i^2=1\cdot (-1)=-1$, entonces:

${\displaystyle \frac{i^{30}(5-i)}{-1+i}}={\displaystyle \frac{-(5-i)}{-1+i}}={\displaystyle \frac{-5+i}{-1+i}}$

Multiplicamos por el conjugado del denominador:

${\displaystyle \frac{-5+i}{-1+i}}\cdot {\displaystyle \frac{-1-i}{-1-i}}={\displaystyle \frac{(-5+i)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}}$

Desarrollamos:

${\displaystyle \frac{(-5+i)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}}={\displaystyle \frac{5+5i-i-i^2}{1-i^2}}={\displaystyle \frac{6+4i}{2}}=3+2i$














d) Calculamos ${\displaystyle \frac{5i^9(2-3i)}{2-i}}$

Como $i^9=i^8\cdot i=1\cdot i=i$, entonces:

${\displaystyle \frac{5i^9(2-3i)}{2-i}}={\displaystyle \frac{5i(2-3i)}{2-i}}={\displaystyle \frac{10i-15i^2}{2-i}}={\displaystyle \frac{10i+15}{2-i}}={\displaystyle \frac{15+10i}{2-i}}$

Multiplicamos por el conjugado del denominador:

${\displaystyle \frac{15+10i}{2-i}}\cdot {\displaystyle \frac{2+i}{2+i}}={\displaystyle \frac{(15+10i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}}$

Desarrollamos:

${\displaystyle \frac{(15+10i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}}={\displaystyle \frac{30+15i+20i+10i^2}{4-i^2}}={\displaystyle \frac{30+35i-10}{4+1}}={\displaystyle \frac{20+35i}{5}}=4+7i$