Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Calcula e interpreta gráficamente las soluciones de $\sqrt[3]{-27i}$.

Expresamos $-27i$ en forma polar.

i) Para el módulo: $\mathrm{\mid }a+bi\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}$

$\mathrm{\mid }-27i\mathrm{\mid }=\sqrt{0^2+(-27{)}^2}=\sqrt{729}=27$

ii) Para el argumento: $\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{b}{a}}$

Como $-27i$ está sobre el eje imaginario negativo, su argumento es $\alpha ={270}^{\circ }$, por tanto: $-27i={27}_{{270}^{\circ }}$

Calculamos las raíces cúbicas usando la fórmula de las raíces $n$-ésimas:

$z_k={\sqrt[n]{r}}_{{\displaystyle \frac{\alpha +{360}^{\circ }k}{n}}}$

Sustituimos los valores $r=27$, $\alpha ={270}^{\circ }$ y $n=3$:

$z_k={\sqrt[3]{27}}_{{\displaystyle \frac{{270}^{\circ }+{360}^{\circ }k}{3}}}$, con $k=0,1,2$










Ahora calculamos cada raíz:

$k=0\to z_0={\sqrt[3]{27}}_{{\displaystyle \frac{{270}^{\circ }+{360}^{\circ }\cdot 0}{3}}}=3_{{90}^{\circ }}$

$k=1\to z_1={\sqrt[3]{27}}_{{\displaystyle \frac{{270}^{\circ }+{360}^{\circ }\cdot 1}{3}}}=3_{{210}^{\circ }}$

$k=2\to z_2={\sqrt[3]{27}}_{{\displaystyle \frac{{270}^{\circ }+{360}^{\circ }\cdot 2}{3}}}=3_{{330}^{\circ }}$

Por tanto, las tres raíces son:

$3_{{90}^{\circ }},3_{{210}^{\circ }},3_{{330}^{\circ }}$

Los afijos de las tres raíces cúbicas tienen el mismo módulo, $3$, y sus argumentos están separados ${120}^{\circ }$ entre sí, con lo que ocupan los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen.