Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

Explica detalladamente cuál es el resultado geométrico de multiplicar un número complejo por $i$, $i^2$, $i^3$ e $i^4$.

Explica detalladamente cuál es el resultado geométrico de multiplicar un número complejo por $i,i^2,i^3\text{ e }{i}^4$.

Forma Binómica

Sea el número complejo $a+bi$










$(a+bi)\cdot i=ai+b{i}^2=ai-b=-b+ai$

El resultado de multiplicar un número complejo por $i$ es otro número complejo cuya parte real es el número opuesto de la parte imaginaria del número complejo de partida, y cuya parte imaginaria coincide con la parte real del número complejo de partida.

Geométricamente equivale a girar el afijo del complejo de partida ${90}^{\circ }$.














$(a+bi)\cdot i^2=a{i}^2+b{i}^3=-a-bi$

El resultado de multiplicar un número complejo por $i^2$ es otro número complejo cuya parte real es el número opuesto de la parte real del número complejo de partida, y cuya parte imaginaria es el número opuesto de la parte imaginaria del número complejo de partida.

Geométricamente equivale a girar el afijo del complejo de partida ${180}^{\circ }$.














$(a+bi)\cdot i^3=a{i}^3+b{i}^4=-ai+b=b-ai$

El resultado de multiplicar un número complejo por $i^3$ es otro número complejo cuya parte real coincide con la parte imaginaria del número complejo de partida, y cuya parte imaginaria es el número opuesto de la parte real del número complejo de partida.

Geométricamente equivale a girar el afijo del complejo de partida ${270}^{\circ }$.





Como $i^4=1$, al multiplicar un complejo por $i^4$ obtenemos el mismo número complejo.


Forma Polar

Sea el número complejo $r_{\alpha }$, teniendo en cuenta que:

$i=1_{{90}^{\circ }};i^2=-1=1_{{180}^{\circ }};i^3=-i=1_{{270}^{\circ }}\text{e}{i}^4=1=1_{0^{\circ }}$

$r_{\alpha }\cdot 1_{{90}^{\circ }}=(r\cdot 1{)}_{\alpha +{90}^{\circ }}=r_{{90}^{\circ }+\alpha }$ → Módulo el mismo y el argumento aumenta en ${90}^{\circ }$

$r_{\alpha }\cdot 1_{{180}^{\circ }}=(r\cdot 1{)}_{\alpha +{180}^{\circ }}=r_{{180}^{\circ }+\alpha }$ → Módulo el mismo y el argumento aumenta en ${180}^{\circ }$

$r_{\alpha }\cdot 1_{{270}^{\circ }}=(r\cdot 1{)}_{\alpha +{270}^{\circ }}=r_{{270}^{\circ }+\alpha }$ → Módulo el mismo y el argumento aumenta en ${270}^{\circ }$

$r_{\alpha }\cdot 1_{0^{\circ }}=(r\cdot 1{)}_{\alpha +0^{\circ }}=r_{0^{\circ }+\alpha }$ → Módulo el mismo y el argumento el mismo