Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

a) ¿Qué figura determina en cada caso una de las igualdades siguientes?

$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }z-(1+i)\mathrm{\mid }=5\mathrm{\mid }z-(5+2i)\mathrm{\mid }=3$

b) Escribe todos los números complejos cuyos afijos estén en la circunferencia de centro $(1,1)$ y radio 3.

c) Resuelve gráficamente el sistema $\{\begin{array}{l}\mathrm{\mid }z-(5+i)\mathrm{\mid }\\ \mathrm{\mid }z-(2+i)\mathrm{\mid }\end{array}$

a) Estudiamos cada igualdad.

Sea $z=x+yi$, donde $x$ es la parte real y $y$ la parte imaginaria.

1) $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=2$

Como $z=x+yi$:

$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{x^2+y^2}$

Entonces:

$\sqrt{x^2+y^2}=2$

Elevamos al cuadrado:

$x^2+y^2=4$

Por tanto, es una circunferencia de centro $(0,0)$ y radio $2$.


2) $\mathrm{\mid }z-(1+i)\mathrm{\mid }=5$

Como $z=x+yi$:

$z-(1+i)=x+yi-1-i=(x-1)+(y-1)i$

Entonces:

$\mathrm{\mid }z-(1+i)\mathrm{\mid }=\sqrt{(x-1{)}^2+(y-1{)}^2}$

$\sqrt{(x-1{)}^2+(y-1{)}^2}=5$

Elevamos al cuadrado:

$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=25$

Por tanto, es una circunferencia de centro $(1,1)$ y radio $5$.


3) $\mathrm{\mid }z-(5+2i)\mathrm{\mid }=3$

Como $z=x+yi$:

$z-(5+2i)=x+yi-5-2i=(x-5)+(y-2)i$

Entonces:

$\mathrm{\mid }z-(5+2i)\mathrm{\mid }=\sqrt{(x-5{)}^2+(y-2{)}^2}$

$\sqrt{(x-5{)}^2+(y-2{)}^2}=3$

Elevamos al cuadrado:

$(x-5{)}^2+(y-2{)}^2=9$

Por tanto, es una circunferencia de centro $(5,2)$ y radio $3$.



b) Buscamos todos los números complejos cuyos afijos están en la circunferencia de centro $(1,1)$ y radio $3$.

El centro $(1,1)$ corresponde al complejo $1+i$.

Por tanto, la circunferencia se escribe:

$\mathrm{\mid }z-(1+i)\mathrm{\mid }=3$

En forma paramétrica:

$z=1+i+3(\cos t+i\mathrm{sen}t)$, con $t\in [0,2\pi )$

También se puede escribir como:

$z=(1+3\cos t)+(1+3\mathrm{sen}t)i$, con $t\in [0,2\pi )$



c) Resolvemos gráficamente el sistema:

$\{\begin{array}{l}\mathrm{\mid }z-(5+i)\mathrm{\mid }=5\\ \mathrm{\mid }z-(2+i)\mathrm{\mid }=2\end{array}$

Sea $z=x+yi$.

Primera circunferencia:

$\mathrm{\mid }z-(5+i)\mathrm{\mid }=5$

$z-(5+i)=(x-5)+(y-1)i$

$\sqrt{(x-5{)}^2+(y-1{)}^2}=5$

$(x-5{)}^2+(y-1{)}^2=25$

Tiene centro $(5,1)$ y radio $5$.


Segunda circunferencia:

$\mathrm{\mid }z-(2+i)\mathrm{\mid }=2$

$z-(2+i)=(x-2)+(y-1)i$

$\sqrt{(x-2{)}^2+(y-1{)}^2}=2$

$(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=4$

Tiene centro $(2,1)$ y radio $2$.


Restamos las ecuaciones:

$(x-5{)}^2+(y-1{)}^2=25$

$(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=4$

Restando:

$(x-5{)}^2-(x-2{)}^2=21$

Desarrollamos:

$x^2-10x+25-(x^2-4x+4)=21$

$-6x+21=21$

$-6x=0\Rightarrow x=0$

Sustituimos en la segunda circunferencia:

$(0-2{)}^2+(y-1{)}^2=4$

$4+(y-1{)}^2=4$

$(y-1{)}^2=0\Rightarrow y=1$

Por tanto:

$z=0+i=i$

La solución gráfica es el punto de tangencia de las dos circunferencias:

$z=i$