Ejercicio resuelto de Números complejos · Matemáticas I

La suma de dos números complejos conjugados es 8 y la suma de sus módulos es 10. ¿De qué números complejos se trata?

Sea un número complejo $z=a+bi$.

Su conjugado será $\bar{z}=a-bi$.

Como la suma de los dos números complejos conjugados es 8:

$(a+bi)+(a-bi)=8$

$2a=8\Rightarrow a=4$

Además, la suma de sus módulos es 10:

$\mathrm{\mid }a+bi\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }a-bi\mathrm{\mid }=10$

Usamos la fórmula del módulo:

$\mathrm{\mid }a+bi\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}$

Entonces:

$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{a^2+(-b{)}^2}=10$

$2\sqrt{a^2+b^2}=10$

$\sqrt{a^2+b^2}=5$

Elevamos al cuadrado:

$a^2+b^2=25$

Como $a=4$:

$4^2+b^2=25\Rightarrow 16+b^2=25\Rightarrow b^2=9\Rightarrow b=\pm 3$

Por tanto, los números complejos son:

$4+3i\text{y}4-3i$