Ejercicio resuelto de Ondas · Física · 2023

CUESTIÓN 5 - Ondas

Determina el periodo, la longitud de onda, el número de ondas y la velocidad de propagación de una onda sísmica trasversal cuya función es $y(x,t)=2\text{sen}(50\pi t-\frac{\pi }{2}x)$ (todos los valores se expresan en unidades del Sistema Internacional). Si $y(0,t)=2$ m, determina razonadamente el valor de $y(8,t)$ y el valor de $y(0,t+0,04)$.

La ecuación de onda es:

$y(x,t)=2\sin (50\pi t-\frac{\pi }{2}x)$

Y la ecuación general de onda:

$y(x,t)=A\sin (\omega t-kx+{\varphi }_0)$

Basta identificar términos:

$A=2\text{m}$

$\omega =50\pi \text{ rad/s}\Rightarrow 2\pi \cdot f=50\pi \Rightarrow f=25\text{ Hz}\Rightarrow T=0,04\text{ s}$

$K=\frac{\pi }{2}\text{ rad/m}\Rightarrow \frac{2\pi }{\lambda }=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \lambda =4\text{ m}$

Y por tanto, la velocidad de propagación:

$v_p=\lambda \cdot f=4\cdot 25=100\text{ m/s}$

Tenemos como dato $y(0,t)2\text{ m}$

Por lo tanto:

$2\sin (50\pi t)=2$

$\sin (50\pi t)=1$

Ahora calculemos:

$y(8,t)=2\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(50\pi t-\frac{\pi }{2}\cdot 8)=2\sin (50\pi t-4\pi )$

$\text{Usando }\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

$=2[\sin (50\pi t)\cos (4\pi )-\cos (50\pi t)\sin (4\pi )]=2[\sin (50\pi t)\cdot 1-\cos (50\pi t)\cdot 0]=2\cdot 1=2\text{m}$

$y(0,t+\mathrm{0,04})=2\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(50\pi (t+\mathrm{0,04}))=2\sin (50\pi t+2\pi )$

$\text{Usando }\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$=2[\sin (50\pi t)\cos (2\pi )+\cos (50\pi t)\sin (2\pi )]=2[\sin (50\pi t)\cdot 1+\cos (50\pi t)\cdot 0]=2\cdot 1=2\text{m}$