Ejercicio resuelto de Ondas · Física · 2024

PROBLEMA 2 - Vibraciones y ondas

Una ballena azul emite un sonido de frecuencia 25 Hz por agua de mar. Se considera que es una onda armónica y unidimensional que se propaga en el sentido positivo del eje $X$ a una velocidad de 1500 m/s. En $t=0\text{s}$ y $x=0\text{m}$ la función de onda se encuentra en un máximo, de valor 32 $\mu$m. Determina:

a) La longitud de onda y la fase inicial. Escribe la función de onda en unidades del Sistema Internacional. Utiliza la función seno para resolver el problema. (1 punto)
b) El valor de la función de onda y la velocidad de vibración de una partícula del medio situada en $x=300\text{m}$ para el instante $t=1\text{s}$. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fase}}\mathbf{\text{inicial.}}\mathbf{\text{Escribir}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Sistema}}\mathbf{\text{Internacional.}}\mathbf{\text{Utilizar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{seno}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{resolver}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Del enunciado obtenemos que:

La frecuencia $\Rightarrow f=25\text{ Hz}$
La velocidad de propagación $\Rightarrow v_p=1500\text{ m/s}$
La amplitud $\Rightarrow A=32\mu \text{m}=32\cdot {10}^{-6}\text{ m}$

Por tanto:

$v_p=\lambda f$
$\Rightarrow \lambda =\frac{v_p}{f}=\frac{1500}{25}=60\text{ m}$

La ecuación de la onda:

$y(x,t)=A\sin (2\pi ft-\frac{2\pi }{\lambda }x+{\phi }_0)$

Sustituyendo valores:

$y(x,t)=32\cdot {10}^{-6}\sin (50\pi t-\frac{\pi }{30}x+{\phi }_0)$

Como nos dicen
$y(0,0)=32\cdot {10}^{-6}\text{ m}$

$32\cdot {10}^{-6}=32\cdot {10}^{-6}\sin (50\pi \cdot 0-\frac{\pi }{30}\cdot 0+{\phi }_0)$

$1=\sin ({\phi }_0)$
$\Rightarrow {\phi }_0=\frac{\pi }{2}\text{ rad}$

Y la ecuación pedida:

$y(x,t)=32\cdot {10}^{-6}\sin (50\pi t-\frac{\pi }{30}x+\frac{\pi }{2})\text{ m}$
(con $x$ en $\text{m}$ y $t$ en $\text{s}$)



$y(300,1)=32\cdot {10}^{-6}\sin (50\pi \cdot 1-\frac{\pi }{30}\cdot 300+\frac{\pi }{2})=32\cdot {10}^{-6}\text{ m}$

Consecuentemente, en el instante $t=1\text{ s}$, el punto $x=300\text{ m}$ tiene elongación máxima, tendrá velocidad nula $\Rightarrow v(300,1)=0\text{ m/s}$